Александр Сладковский родился в 1965 году в Таганроге. Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского с отличием и Санкт-Петербургскую государственную консерваторию имени Н. А. Римского-Корсакова (класс Владислава Чернушенко). Дебютировал в Государственном театре оперы и балета Санкт-Петербургской консерватории оперой Моцарта «Так поступают все женщины». Был главным дирижером Симфонического оркестра Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга, дирижером ГСО «Новая Россия». В 2005 году ассистировал Марису Янсонсу на постановке оперы «Кармен» Бизе, в 2006-м – Мстиславу Ростроповичу при подготовке программы «Неизвестный Мусоргский» (обе постановки – в Санкт-Петербургской консерватории).
С 2010 года – художественный руководитель и главный дирижер Государственного симфонического оркестра Республики Татарстан (в 2021 году оркестру присвоено звание «академический»). Учредитель проекта «Достояние республики» для одаренных воспитанников музыкальных школ и студентов консерватории, образовательных проектов для школьников Казани «Уроки музыки с оркестром» и «Волшебные струны оркестра», благотворительных проектов «Исцеление музыкой» для инвалидов и тяжелобольных детей.
В 2019 году выступил дирижером-постановщиком оперы «Травиата» Верди в московском театре «Геликон-опера» (режиссер – Дмитрий Бертман). В 2021-м по приглашению ректора Казанской государственной консерватории имени Н. Г. Жиганова стал профессором кафедры оперно-симфонического дирижирования.
Александр Сладковский удостоен почетных званий «Народный артист Российской Федерации» (2016) и «Народный артист Республики Татарстан» (2020), Международной премии имени Сергея Рахманинова в номинации «Специальный проект во имя Рахманинова» за особое внимание к творчеству композитора и за организацию Международного фестиваля «Белая сирень» (2019). В 2022 году стал первым обладателем Большой оркестровой премии «440 герц» в номинации «Дирижер».
