Алексей Семёнов окончил в 1973 году Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского по двум специальностям – как пианист (класс профессора М. А. Федоровой) и органист (класс профессора Л. И. Ройзмана). Продолжил обучение по классу органа в ассистентуре-стажировке. В 1986-1987 годах совершенствовался в Венской Высшей школе музыки у профессора Х. Хазельбёка (орган), посещал занятия и репетиции таких известных музыкантов, как Н. Арнонкур, Г. Такетти, Г. Мюррей, Х. Васкес, Р. Клеменчич.
Еще студентом консерватории музыкант начал активную концертную деятельность. Он выступал в нашей стране и за рубежом, сотрудничал с такими выдающимися дирижерами, как Е. Светланов, В. Дударова, С. Сондецкис, А. Кац, Р. Баршай, В. Федосеев, выступал с известными хоровыми коллективами (под управлением К. Птицы, В. Попова, В. Минина, Б. Певзнера) и солистами, среди которых В. Дулова, Ю. Мазурок, Б. Руденко, Т. Докшицер и другие музыканты.
С 1979 по 1993 годы А. Семёнов являлся солистом ансамбля «Мадригал», где кроме органа и клавесина играл также на блокфлейтах, крумхорнах и других старинных инструментах. В 1990 года организовал и возглавил Ансамбль исполнителей старинной музыки «Ладъ», с которым подготовил и записал много интересных программ. В 1993 году ансамбль стал лауреатом VIII Международного конкурса аутентичных ансамблей им. У. В. ван Вассенара в Амстердаме. Алексей Семенов был художественным руководителем постановки оперы А. Сальери «Данаиды», впервые представленной в России в 2000 году к 250-летию композитора на сцене Шереметевского театра в Останкино.
Основу репертуара артиста составляют органные и клавесинные сочинения композиторов XVI–XVIII веков: И. С. Баха, Дж. Фрескобальди, Г. Пёрселла, Г. Ф. Генделя, Д. Букстехуде, И. Кребса, Т. Бёма, А. Кабесона, Ф. Куперена, Ж.-Ф. Рамо и других авторов. В программах А. Семёнова представлены также произведения композиторов-романтиков (Р. Шуман, Й. Брамс, М. Регер), русская классика (А. Гурилёв, С. Ляпунов, А. Глазунов, С. Танеев, Д. Шостакович) и современная музыка (С. Губайдулина, А. Шнитке, Г. Седельников, С. Загний, П. Карманов).
Дискография А. Семёнова включает: два сольных органных диска – в серии «Тысяча лет музыки» и «Русская органная музыка», программы с ансамблями «Мадригал» (музыка европейского Средневековья, Ренессанса и раннего Барокко) и «ЛАДЪ» (опера М. Соколовского «Мельник – колдун, обманщик и сват», вокальный сборник Г. Теплова «Между делом безделье», альбомы «Барок-н-ролл» с музыкой XVI-XVIII веков и «На свой лад. Избранное»).
С 2002 года музыкант преподает в Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского (доцент кафедры органа и клавесина). Удостоен звания заслуженного артиста России.
