Андрей Рубцов родился в 1982 году в Москве. Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского по специальностям «гобой» (класс профессора Геннадия Керенцева) и «оперно-симфоническое дирижирование» (класс профессора Игоря Дронова). Занимался композицией под руководством профессора Леонида Бобылёва. Позднее совершенствовался как дирижер в аспирантуре Королевской академии музыки в Лондоне (класс Колина Меттерса), удостоен почетной награды академии (Associate of the Royal Academy of Music) как ее выдающийся выпускник (2017). Участвовал в мастер-классах Курта Мазура, Бернарда Хайтинка и Михаила Юровского.
Как гобоист выступал в составе Российского национального оркестра. В 2004 году дебютировал с этим коллективом как дирижер (клавирные концерты Баха, солист – Михаил Плетнёв). Затем последовали выступления с РНО в России, США, Нидерландах и Малайзии.
В 2014–2017 годах был дирижером-ассистентом Дональда Ранниклса в Шотландском симфоническом оркестре Би-би-си, в том числе на международных фестивалях в Эдинбурге и BBC Proms в Лондоне. Дирижировал операми «Так поступают все женщины» и «Свадьба Фигаро» Моцарта в Королевской консерватории Шотландии, работал как ассистент в постановке «Поворота винта» Бриттена в Оперном театре Королевской академии музыки в Лондоне.
Дирижировал камерным оркестром «Виртуозы Москвы», Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова, Государственным академическим камерным оркестром России, оркестрами Красноярского театра оперы и балета, Саратовской, Самарской и Северо-Кавказской филармоний, камерным Шнитке-оркестром, Литовским камерным оркестром, молодежными оркестрами Шотландии и Армении, шотландским ансамблем современной музыки Red Note и другими коллективами.
Выступал как солист с Российским национальным оркестром, оркестрами Большого театра и Московской филармонии, Московским симфоническим, Musica Viva, оркестром Московской консерватории, Фестивальным оркестром Вербье и другими. В настоящее время – музыкальный руководитель и дирижер оркестра Московского академического театра сатиры.
Андрей Рубцов также получил известность как композитор, музыку которого исполняют в России и за рубежом. Камерный балет «Поцелуй ветра» был поставлен на сцене Большого театра (совместный проект ГАБТа и Российского национального оркестра). Квинтет для духовых инструментов «Три настроения» вошел в репертуар более 70 ансамблей, включая квинтет Берлинского филармонического оркестра. Скрипичный концерт прозвучал во многих городах Германии во время гастролей оркестра «Академия Святого Мартина в полях» и в исполнении Симфонического оркестра Баварского радио (солистка – Юлия Фишер). Концерт для гобоя с оркестром был включен в обязательную часть программы VII Международного конкурса Московской консерватории для исполнителей на духовых и ударных инструментах и Международного конкурса на Тайване. Это сочинение вошло в диск «Русские гобойные концерты», записанный Гёттингенским симфоническим оркестром под управлением Кристофа-Маттиаса Мюллера при участии гобоистки Марии Сурначёвой (премия ECHO Klassik 2017). Сказка «Аленький цветочек» с музыкой Андрея Рубцова идет на сцене Театра имени Вахтангова, в 2017 году выпущена на CD при участии Российского национального оркестра (чтец – Александр Олешко).
В мае 2019 года Андрей Рубцов вновь сотрудничал с оркестром «Академия Святого Мартина в полях», во время гастролей коллектива по Европе состоялись премьерные исполнения его Камерной симфонии. Летом 2019 года он стал победителем конкурса композиторов, посвященного знаменитому ирландскому флейтисту Джеймсу Голуэю. Его произведение Bliss Point прозвучало на 30-м юбилейном фестивале-академии Голуэя в Веггисе (Швейцария). В сезоне 2019/20 состоялась премьера детской оперы «Питер
Пэн» в Красноярском театре оперы и балета (под управлением автора). В сезоне 2020/21 был поставлен мюзикл «Дамское счастье» с музыкой Андрея Рубцова на сцене Театра сатиры. Среди недавних событий – гастроли с Российским национальным оркестром по городам России, дебют с Большим симфоническим оркестром имени П. И. Чайковского, а также продолжение сотрудничества с Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова.
