Борис Рудак родился в Беларуси. Обучался в Белорусской государственной академии музыки и Санкт-Петербургской государственной консерватории имени Н. А. Римского-Корсакова (класс Ирины Богачёвой). В период учебы участвовал в исполнении опер Римского-Корсакова, Равеля и Орфа в Большом зале Санкт-Петербургской консерватории, а также в премьерах «Сказки о Попе и работнике его Балде» Шостаковича в Норвегии и Ирландии. В 2003 году завоевал III премию на Международном конкурсе имени Станислава Монюшко в Минске. В 2009 году стал дипломантом Международного конкурса оперных певцов в Кольменар-Вьехо (Испания).
В 2009–2012 годах – артист Молодежной оперной программы Большого театра России, на сцене которого дебютировал в партии Парпиньоля в опере «Богема» Пуччини. В настоящее время – приглашенный солист театра. В его репертуаре – Лыков («Царская невеста» Римского-Корсакова), Владимир Игоревич («Князь Игорь» Бородина), Княжич Юрий («Чародейка» Чайковского), Измаил («Набукко» Верди), Панг и Понг («Турандот» Пуччини), Альфред («Летучая мышь» И. Штрауса), Итальянский певец («Кавалер розы» Р. Штрауса), Кай («История Кая и Герды» Баневича) и другие партии. Принимал участие в концертном исполнении оперы «Отелло» Верди в Большом зале Московской консерватории. Гастролировал с труппой Большого театра в Польше и Германии, где выступал в партии Альмерика в опере «Иоланта» Чайковского (дирижер – Василий Синайский). Участвовал в премьере оперы «Золотой петушок» Римского-Корсакова в постановке Кирилла Серебренникова (партия Гвидона).
С 2013 года – солист Пермского академического театра оперы и балета имени П. И. Чайковского. Выступал в партиях Ленского и Вакулы («Евгений Онегин» и «Черевички» Чайковского), Принца («Любовь к трем апельсинам» Прокофьева), Альфреда («Травиата» Верди), Эдгара («Лючия ди Ламмермур» Доницетти), Пинкертона («Мадам Баттерфляй» Пуччини), Рулевого («Летучий голландец» Вагнера), Дона Оттавио («Дон Жуан» Моцарта), Бригеллы («Ариадна на Наксосе» Р. Штрауса), Шевалье («Диалоги кармелиток» Пуленка), Альфреда («Летучая мышь» И. Штрауса) и других. Принимал участие в Дягилевском фестивале. Сотрудничал с дирижерами Теодором Курентзисом, Томасом Зандерлингом, Валерием Платоновым, Валентином Урюпиным.
Певец участвовал в концертных исполнениях опер «Идоменей» Моцарта с Московским камерным оркестром Musica Viva под управлением Александра Рудина, «Ромео и Джульетта» Гуно с Государственным симфоническим оркестром «Новая Россия» под управлением Бенжамина Пьоннье, «Саломея» Р. Штрауса с Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова и Владимиром Юровским на сцене Зала имени П. И. Чайковского, а также оперы «Травиата» Верди с Гёттингенским симфоническим оркестром под управлением Кристофа-Матиаса Мюллера.
Как приглашенный солист сотрудничал с Челябинским оперным театром и Оперным театром Атланты (США). В 2016 году дебютировал в Королевском театре де ла Монне в Брюсселе в партии Синодала («Демон» Рубинштейна, дирижер – Михаил Татарников) и исполнил роль Миколы в опере «Семён Котко» Прокофьева на сцене амстердамского зала Консертгебау (дирижер – Владимир Юровский). В 2017 году состоялся дебют Бориса Рудака в Королевском театре Мадрида в новой постановке оперы «Золотой петушок».
С сезона 2019/20 – солист Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова, с сезона 2021/22 – приглашенный солист театра.
