Филипп Чижевский родился в 1984 году в Москве. Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского по двум специальностям: «хоровое дирижирование» (2008, класс профессора Станислава Калинина) и «оперно-симфоническое дирижирование» (2010, класс профессора Валерия Полянского). Руководил хором Государственного музыкального колледжа имени Гнесиных, где также преподавал дирижирование. Лауреат Всероссийского конкурса дирижеров в Москве (2008).
В 2008 году совместно с Марией Грилихес основал ансамбль Questa Musica, с которым работает в России и за рубежом. Вместе с ансамблем принимал участие в крупных проектах, среди которых постановки опер Пёрселла «Дидона и Эней» (Музей-усадьба «Архангельское», 2011, режиссер – Алишер Хасанов) и «Королева фей» (Большой зал консерватории, 2017), оперы «Франциск» Сергея Невского (Большой театр, 2012, постановка Владимира Бочарова), «Сказки о солдате» Стравинского (Театральный центр на Страстном, 2013, хореография Олега Глушкова), оперного сериала «Сверлийцы» (Электротеатр Станиславский, 2015, режиссер-постановщик – Борис Юхананов, музыка Дмитрия Курляндского, Бориса Филановского, Алексея Сюмака, Сергея Невского, Алексея Сысоева, Владимира Раннева), оперы «Галилео» для скрипки и ученого (Электротеатр Станиславский, 2017, автор идеи – Елена Ревич, постановка Бориса Юхананова) и оратории «Триумф Времени и Бесчувствия» Генделя (Московский академический Музыкальный театр имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко, 2018, режиссер-постановщик – Константин Богомолов).
С 2011 года – дирижер Государственной академической симфонической капеллы России (художественный руководитель и главный дирижер – Валерий Полянский). Ассистировал Геннадию Рождественскому при подготовке абонементных концертов коллектива, участвовал вместе с оркестром капеллы в проведении I Всероссийского музыкального конкурса, за что был удостоен благодарности Министра культуры Российской Федерации. Провел премьеру оперы Майкла Наймана «Пролог к Дидоне и Энею Пёрселла» в Перми (2012).
В 2014 году выступил в качестве дирижера-постановщикаоперы Моцарта «Так поступают все женщины» в Бурятском государственном академическом театре оперы и балета (режиссер-постановщик – Ханс-Йоахим Фрай). В 2016 году в рамках V фестиваля «Другое пространство» совместно с Владимиром Юровским и Фуадом Ибрагимовым представил российскую премьеру «Групп» Штокхаузена для трех оркестров и трех дирижеров (Концертный зал имени П. И. Чайковского). В 2018 году провел мировую премьеру сочинения «T–S–D» для виолончели с оркестром Гии Канчели на открытии X фестиваля VIVACELLO.
С 2014 года– приглашенный дирижер Государственного академического Большого театра России. Художественный руководитель I Барочного фестиваля Большого театра (сезон 2014/15). Дирижер-постановщик оперетты «Перикола» Оффенбаха на Камерной сцене Большого театра (2019, режиссер-постановщик Филипп Григорьян), а также одноактных опер «Дневник Анны Франк» Григория Фрида и «Белая роза» Удо Циммермана (2021, режиссер-постановщик – Ханс-Йоахим Фрай).
В Пермском театре оперы и балета имени П. И. Чайковского руководит постановками опер «Кармен» Бизе и «Летучий голландец» Вагнера (режиссер-постановщик – Константин Богомолов, 2021, 2023).
Сотрудничает с российскими и зарубежными оркестрами, среди которых Госоркестр России имени Е. Ф. Светланова, Большой симфонический оркестр имени П. И. Чайковского, Национальный филармонический оркестр России, ГСО «Новая Россия», Симфонический оркестр Москвы «Русская филармония», оркестр Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова, Московский камерный оркестр Musica Viva, Государственный академический камерный оркестр России, Бранденбургский государственный симфонический оркестр, Новый городской оркестр Токио и другие.
Со скрипачом Романом Минцем, Филармоническим оркестром Брно и Литовским камерным оркестром записал «Эскизы к закату» и «Русские сезоны» Леонида Десятникова; с пианистом Андреем Гугниным и Загребским филармоническим оркестром – Фортепианный концерт Бориса Папандопуло.
В 2019 году удостоен Международной профессиональной музыкальной премии BraVo и Российской национальной театральной премии «Золотая маска» за работу в спектакле «Триумф Времени и Бесчувствия» МАМТ имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко. В 2022-м удостоен «Золотой маски» за работу в спектакле «Кармен» Пермского театра оперы и балета. Ранее трижды номинировался на «Золотую маску».
С 2011 года преподает в Московской консерватории.
