Святослав Липс родился в 1974 году в семье баяниста Фридриха Липса. Учился в Центральной музыкальной школе при Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского (класс Анны Артоболевской), затем окончил консерваторию (1997) и ассистентуру-стажировку МГК (2000, класс профессора Льва Наумова). Победитель международных конкурсов в Стрезе (Италия, 1991) и имени Марии Канальс в Барселоне (Испания, 1994).
Выступал в городах России, Австрии, Германии, Италии, Швейцарии, Испании, Швеции, Латвии, Эстонии, Японии. Сотрудничал с оркестрами под управлением Андрея Борейко, Евгения Бушкова, Сергея Кондрашева, Дмитрия Лисса, Валерия Полянского, Владимира Понькина, Михаила Щербакова, Урса Шнайдера, Франца-Пауля Деккера и др. Среди партнеров пианиста по камерному ансамблю – Гидон Кремер, Владислав Иголинский, Аркадий Гутников, Елена Ревич, Фридрих Липс, Матти Рантанен, Кирилл Родин, Владимир Тонха, Александр Бузлов, Михаил Березницкий, Валерий Попов, Марк Пекарский, Татьяна Куинджи и другие.
Значительная часть репертуара пианиста – произведения современных композиторов. Святославу Липсу посвящали сочинения Сергей Беринский, Ефрем Подгайц, Михаил Броннер, Александр Розенблат, Татьяна Сергеева, Елена Анисимова. Записи музыканта выходили под лейблами Nonesuch Records (США), Triton (Япония), «Грамзапись» (Россия) и другими.
В 2008–2015 гг. совместно с Марией Власовой возглавлял Международный фестиваль классической и современной музыки «Рандеву» (Москва). Участник фестивалей камерной музыки в Локенхаусе и Костомукше, «Камчатская музыкальная весна» в Петропавловске-Камчатском, «А. Н. Черепнин» в Японии, III Международного фестиваля современной музыки, ArsLonga, «Дворянские сезоны», «Софии – с любовью», «Московская осень» в Москве.
С 2019 года преподает в Российской академии музыки имени Гнесиных. Проводит мастер-классы в России и за рубежом. Приглашенный педагог летней творческой школы фонда «Новые имена» в Суздале.
