Максим Хлопьев родился в 1974 году в Свердловске. Играть на контрабасе начал в 11 лет. Окончил Московскую государственную консерваторию имени П.И. Чайковского, неоднократно стажировался в США (оркестр Школы искусств Северной Каролины). Творческую деятельность начал в качестве концертмейстера группы контрабасов в Московском государственном академическом симфоническом оркестре под управлением Павла Когана. С 2002 года – концертмейстер группы контрабасов в Государственном симфоническом оркестре «Новая Россия» под управлением Юрия Башмета. С 2004 года – солист Камерного ансамбля «Солисты Москвы».
Музыканту посчастливилось работать с такими выдающимися дирижерами, как Евгений Светланов, Альгис Жюрайтис, Курт Мазур, Владимир Ашкенази, Юстус Франтц, Валерий Гергиев. Композитор Д. Кривицкий посвятил музыканту свой «Концерт для скрипки, контрабаса и камерного оркестра».
Максим регулярно выступает в рамках крупнейших международных фестивалей камерной музыки: в Париже, Туре, Руане, Гавре и Биарицце (Франция), Кройте, Кронберге, Роландсеке, Эльмау и Шлезвиг-Гольштейне (Германия), Риме, Венеции, Равенне, Стрезе и на о. Эльба (Италия), Бате и Лондоне (Англия), Праге (Чехия), Кракове (Польша), Кухмо и Миккели (Финляндия).
Постоянный участник фестиваля «Декабрьские вечера Святослава Рихтера» в Москве. В 2008 году дебютировал в рамках этого фестиваля, исполнив квинтет Шуберта «Форель» (совместно с Ю. Башметом, О. Майзенбергом, Р. и Г. Капюсонами (Франция)). Максим выступал вместе с известнейшим итальянским флейтистом Массимо Мерчелли, с Аленой Баевой, Александром Рудиным и Игорем Федоровым, проводил мастер-классы в Гонгконге и Брисбене (Австралия).
В составе «Солистов Москвы» получил высшую американскую музыкальную награду Grammy (2008) в номинации «Лучший камерный ансамбль».