Тимур Колодяжный окончил Московский государственный институт музыки имени А. Г. Шнитке (класс профессора Льва Евграфова). Стипендиат фондов «Новые имена», Мстислава Ростроповича и Министерства культуры Кабардино-Балкарской Республики, удостоен именного гранта Людмилы Гуровой.
В составе квартета «432» стал победителем международных конкурсов «Осенний марафон» в Санкт-Петербурге и «Музы мира» («Современное искусство и образование») в Москве, лауреат Международного конкурса виолончелистов имени Святослава Кнушевицкого в Саратове (III премия в сольной номинации).
Гастролировал в городах России и за рубежом как солист и в составе квартета. Сотрудничает с российскими композиторами. Принимал участие в записи альбомов с музыкой Игоря Еварда и Вячеслава Недосекина, а также в исполнении их произведений в залах Москвы и на международных фестивалях во Франции. Участник различных проектов в музыкальных школах, музеях, выставочных залах и библиотеках Москвы и Подмосковья.
Работал в оркестрах Московского музыкального театра «Геликон-опера» и Центра оперного пения имени Галины Вишневской, сотрудничал с оркестром musicAeterna под управлением Теодора Курентзиса.
С 2019 года – артист Московского камерного оркестра Musica Viva под управлением Александра Рудина.