Кузьма Бодров родился в 1980 году в Киргизии. В 2005 году окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (класс профессора Александра Чайковского). В настоящее время ведет в консерватории класс композиции. С сентября 2021 года возглавляет кафедру композиции Российской академии музыки имени Гнесиных. Член Совета Союза композиторов России. Член Общественного совета при Министерстве культуры РФ.
Музыка Кузьмы Бодрова звучит в России, странах Европы и Америки, в Австралии и Новой Зеландии. В числе исполнителей – Госоркестр России имени Е. Ф. Светланова, Академический симфонический оркестр Московской филармонии, ГСО «Новая Россия», Большой симфонический оркестр имени П. И. Чайковского, Национальный филармонический оркестр России, камерный ансамбль «Солисты Москвы», Камерный хор Московской консерватории, ансамбль хоровой музыки AltroCoro, хор Академии хорового искусства имени В. С. Попова, Госкапелла России имени А. А. Юрлова, Госхор имени А. В. Свешникова и другие коллективы.
Кузьма Бодров сотрудничал с известными музыкантами, среди которых Юрий Башмет, Юрий Симонов, Александр Сладковский, Борис Тевлин, Владимир Зива, Никита Борисоглебский, Екатерина Мечетина, Василий Степанов, Александр Соловьев, Александр Рыжинский, Екатерина Мочалова, Борха Кинтас, Сергей Стадлер, Борис Березовский, Вадим Репин, Мария Байо, Сергей Антонов, Александр Тростянский, Елена Ревич и Вадим Холоденко.
Участник Лаборатории режиссера и художника Дмитрия Крымова. Сотрудничал с кинорежиссерами Андреем Кравчуком, Константином Хабенским, Павлом Лунгиным. Обладатель премии Министерства обороны Российской Федерации за музыку к фильму Константина Хабенского «Собибор». Музыкальный руководитель проекта образовательных анимационных фильмов «Сказки старого пианино», получившего премию Правительства РФ в 2013 году. Преподает на Высших курсах режиссеров и сценаристов в Москве.
С 2011 года – композитор-резидент оркестра JMJв Мадриде (JMJ– Всемирный день молодежи под патронатом папы римского); написал несколько произведений для мессы Его Святейшества Бенедикта XVI (2011). С 2012 года – приглашенный профессор Высшей школы музыки Катарины Гурски в Мадриде.
Лауреат композиторских конкурсов имени С. С. Прокофьева (I премия за Концерт-сонату для скрипки с оркестром), имени Д. Д. Шостаковича (I премия за Концерт для скрипки с оркестром) и имени Н. Я. Мясковского (I премия за струнный квартет). Обладатель Премии Д. Д. Шостаковича от Московской консерватории.
