Мурад Зохраб-оглы Адигезалзаде родился в 1973 году в Баку. Окончил среднюю специальную музыкальную школу имени Бюль-Бюля. В 11 лет участвовал в Международном радио-конкурсе «Концертино Прага», где был признан одним из десяти лучших молодых исполнителей. Спустя три года состоялись его первые крупные гастроли в Чехословакии, а в 1990 году молодой музыкант выступил на Международном конкурсе пианистов в Германии. В 1991–1996 годах М. Адигезалзаде учился в Азербайджанской государственной музыкальной академии имени Узеира Гаджибекова (классы профессоров Р. И. Атакишиева, Ф. Ш. Бадалбейли). Продолжил образование в Мюнхенской Высшей школе музыки и театра (окончил в 1998 году) и в ассистентуре-стажировке Московской консерватории (окончил в 2000 году) – в классе профессора Э. К. Вирсаладзе.
В 1996 году победил на Республиканском конкурсе пианистов и был удостоен званий «Лучший пианист года» и «Лучший музыкант года». В 2001 году стал лауреатом II Международного конкурса пианистов в Тбилиси (II премия, I премия не присуждалась), в 2002 году участвовал в XII Международном конкурсе имени П. И. Чайковского.
Во время учебы пианист гастролировал с сольными концертами в Москве, Баку, в городах Турции; принимал участие в международных фестивалях – в Тбилиси, Киеве (вместе со стипендиатами Международного благотворительного фонда Владимира Спивакова), выступал на фестивале памяти Святослава Рихтера.
Мурад Адигезалзаде играл в сопровождении Азербайджанского государственного симфонического оркестра имени Узеира Гаджибекова, сотрудничал оркестрами Турции (с Государственным симфоническим оркестром г. Бурсы и другими коллективами), Германии (с Грузинским камерным оркестром г. Ингольштадта). Пианист выступал с коллективами под управлением дирижеров – Рауфа Абдуллаева, Ялчина Адигезалова, Владимира Альтшулера, Юрия Башмета, Максима Венгерова, Владимира Вербицкого, Вахтанга Жордании, Вахтанга Кахидзе, Рамиза Мелик-Асланова, Назима Рзаева, Владимира Сиренко, Владимира Федосеева, Дмитрия Яблонского.
Музыкант часто играет в центральных залах Москвы.
В его репертуаре – произведения Баха, Бетховена, Моцарта, Гайдна, Шумана, Шуберта, Брамса, Чайковского, Рахманинова и других композиторов. Значительное внимание М. Адигезалзаде уделяет азербайджанской музыке, исполняя ее не только в Баку, но и в других городах и странах.
Наряду с концертной деятельностью Мурад Адигезалзаде является доцентом кафедры фортепиано Бакинской музыкальной академии. С 2006 года он – директор Азербайджанской государственной филармонии имени Муслима Магомаева.
Мурад Адигезалзаде удостоен званий «Заслуженный артист Азербайджана» (2005) и «Народный артист Азербайжана» (2011). С 2007 года получает Президентскую премию.