Александр Акимов родился в 1982 году в семье музыкантов. Окончил Центральную среднюю специальную музыкальную школу при Московской государственной консерватории по классу альта у М. И. Ситковской, Московскую консерваторию и аспирантуру по классу альта у профессора Ю. А. Башмета.
Лауреат Открытого фестиваля «Юные солисты Москвы» (1997), международных конкурсов в Тольятти (1998), имени Н. Рубинштейна в Москве (1998), имени И. Брамса в Австрии (2003, Iпремия). В 2006 году стал лауреатом IIпремии, а в 2010 году — Iпремии Международного конкурса альтистов Юрия Башмета в Москве.
Александр Акимов выступал как солист с Российским национальным оркестром под управлением Михаила Плетнева, Государственным симфоническим оркестром «Новая Россия» и Камерным ансамблем «Солисты Москвы» под руководством Юрия Башмета, Академическим симфоническим оркестром Московской филармонии, Оркестром Итальянской Швейцарии, Государственным академическим симфоническим оркестром России имени Е. Ф. Светланова и другими известными коллективами.
Принимал участие в международных фестивалях: Young Artists в Лос-Анджелесе, Московском Пасхальном фестивале, «Декабрьские вечера Святослава Рихтера», «Дипломатия звезд» (Алматы), «Дни Моцарта в Москве» и других.
В настоящее время Александр Акимов является концертмейстером группы альтов Государственного камерного оркестра «Виртуозы Москвы». Постоянный участник абонементов Московской филармонии.
С 2007 года преподает в Российской академии музыки имени Гнесиных на кафедре скрипки и альта. Проводил мастер-классы в России, Башкортостане, Казахстане, Исландии. Имеет записи на телеканале «Культура» и швейцарском радио RSI.
Удостоен премии Европейского культурного фонда «Про-Арте» (Висбаден, Германия, 2005). В 2013 году музыканту присвоено звание Заслуженного артиста Республики Дагестан.