Александр Багиров родился в Москве в семье музыкантов. С семи лет начал
заниматься на ударных инструментах в ДМШ № 10 имени Бетховена. Окончил
Московское музыкальное училище имени Октябрьской Революции (класс Л.
Красильниковой) и Российскую академию музыки имени Гнесиных (класс профессора
Д. Лукьянова). Музыкант является лауреатом I
премии V Всероссийского конкурса исполнителей на ударных
инструментах (Астрахань, 1995).
А. Багиров работал в Симфоническом оркестре Москвы «Русская филармония» (1996–1999), в Симфоническом оркестре России под руководством В. Дударовой (1999), в Симфоническом оркестре «Молодая Россия» (1999–2002). С 2003 года является концертмейстером группы ударных инструментов Госоркестра России имени Е. Ф. Светланова. С 2000 года ведет педагогическую работу в музыкальных школах Москвы. Музыкант сотрудничал со многими известными дирижерами и солистами: Е. Светлановым, М. Ростроповичем, Г. Рождественским, В. Юровским, М. Юровским, А. Лазаревым, С. Озавой, С. Стадлером, Д. Ситковецким, Н. Гутман, В. Третьяковым, Э. Вирсаладзе, А. Рудиным, Д. Мацуевым.
В 2007 году Александру Багирову присвоено звание «Заслуженный артист России».