Александр Чернов родился в Москве. Окончил вокальный факультет Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского. Стажировался в Консерватории Венеции имени Бенедетто Марчелло и Академии молодых оперных исполнителей в Опере Монте-Карло. Участвовал в мастер-классах Нила Шикоффа, Жозе ван Дама.
В годы обучения в консерватории дебютировал на сцене Московского музыкального театра «Геликон-опера», исполнив партию Принца в опере «Любовь к трем апельсинам» Прокофьева. В 2017 году принят в труппу Камерного музыкального театра имени Б. А. Покровского, где дебютировал в партии Ринуччо в опере «Джанни Скикки» Пуччини. С 2018 года – солист Камерной сцены имени Б. А. Покровского Большого театра.
В дальнейшем на сценах Большого театра исполнил партии Грицько («Сорочинская ярмарка» Мусоргского), Луиджи («Плащ» Пуччини), Рыбака («Соловей» Стравинского), Князя Мышкина («Идиот» Вайнберга), Кая («История Кая и Герды» Баневича), Альфреда («Летучая мышь» И. Штрауса), Эдмонда («Манон Леско» Пуччини), Вакулы («Черевички» Чайковского), Дженнаро («Маддалена» Прокофьева), Зиновия Борисовича («Катерина Измайлова» Шостаковича), Коломбелло («Король» Джордано), Дона Оттавио («Дон Жуан» Моцарта) и другие.
Принимал участие в концертном исполнении оперы «Евгений Онегин» Чайковского (Ленский) в Большом зале консерватории (дирижер – Владимир Федосеев, 2016) и оперетты «Кандид» Бернстайна в Концертном зале имени П. И. Чайковского (дирижер – Джозеф Р. Олефирович, 2018). В Лондоне на фестивале Лондонского филармонического оркестра под управлением Владимира Юровского исполнил партию Гусара в опере «Мавра» Стравинского (2018).
В 2023 году номинировался на премию «Золотая маска» за роль Ленского в спектакле Пермского театра оперы и балета имени П. И. Чайковского.
В 2024 году впервые выступил в спектаклях Мариинского театра под управлением Валерия Гергиева, исполнив партии Принца («Любовь к трем апельсинам» Прокофьева) и Баяна («Руслан и Людмила» Глинки).
В 2024 году в Соборной палате исполнил первую редакцию вокальной поэмы Свиридова «Отчалившая Русь», в Малом зале Московской консерватории дал сольный концерт с программой городских романсов XIX–XX века.
Сотрудничал с известными дирижерами, в числе которых Туган Сохиев, Михаил Татарников, Игнат Солженицын, Филипп Чижевский, Мартин Браббинс, Джакомо Сагрипанти, Даниэле Каллегари, Жорди Бернасер, Кери-Линн Уилсон и другие.