Александр Гостев родился в 1989 году в Липецке. Получил вокальное образование в Липецком областном колледже искусств имени К. Н. Игумнова и Нижегородской государственной консерватории имени М. И. Глинки. Лауреат Международного конкурса вокального мастерства «Голосистый соловей» в Москве (III премия) и Межрегионального конкурса исполнителей романса «Гори, гори, моя звезда!» в Липецке (I премия).
С 2015 года – солист Нижегородского государственного академического театра оперы и балета имени А. С. Пушкина.
В репертуаре певца – Трике и Балакин («Евгений Онегин» и «Чародейка» Чайковского), Ямадори и Тинка («Мадам Баттерфляй» и «Плащ» Пуччини), Фогельзанг («Директор театра» Моцарта), Мисаил («Борис Годунов» Мусоргского), Нотариус («Севильский цирюльник» Россини), Ремендадо («Кармен» Бизе), а также партии в опереттах и мюзиклах «Веселая вдова» Легара, «Сильва» и «Мистер Икс» Кальмана, «Летучая мышь» И. Штрауса, «Моя прекрасная леди» Лоу, «Бременские музыканты» Гладкова, «Ханума» Канчели, «Красавец мужчина» Фертельмейстера и другие.