Александр Казьмин родился в 1989 году в Самарской области. Окончил Нижнетагильскую государственную социально-педагогическую академию (ныне институт) по специальности «актер драматического театра и кино» (2011). В 2009–2013 годах играл в городском Молодежном театре в спектаклях «Белые ночи», «Эти свободные бабочки», «Экзамен про любовь», «Отцы и дети» и др.
С 2013 года работает в музыкальных театрах Москвы и Санкт-Петербурга. В числе его проектов – мюзиклы «Бал вампиров» (Санкт-Петербургский государственный театр музыкальной комедии и «Стейдж Энтертейнмент»), «Монте-Кристо» и «Ромео VS Джульетта XX лет спустя» (Московский театр оперетты), «Последнее испытание» (RIF Group), «Привидение» («Стейдж Энтертейнмент»), «Иосиф и его удивительный плащ снов» (театр «Карамболь»), «Первое свидание» (театральная компания «Бродвей Москва»), а также музыкальные спектакли «Территория страсти» (режиссер Александр Балуев), «31 июня», «Король-олень», «Жар-птица», «Царевна-лягушка» («Карамболь»), «Бременские музыканты», «Али-Баба и 40 песен персидского базара» (Санкт-Петербургский театр «Мюзик-Холл») и другие постановки. Исполняет роль Раскольникова в мюзикле «Преступление и наказание» Эдуарда Артемьева на сцене Московского театра мюзикла.
Принимал участие в российско-американском музыкальном образовательном проекте Broadway Dreams, в записи русскоязычной версии каст-альбома мюзикла «Тетрадь смерти» (роль Лайта Ягами) и каст-альбома мюзикла «Гиперборея – Симфония Северного Ветра» (роль Эйдеса). Сотрудничает также с продюсерским центром «Пентаграмма».