Александр Ключко родился в 2000 году в Саранске. В 2015 году окончил ДМШ при Московском государственном колледже музыкального исполнительства имени Ф. Шопена, в 2019 году с отличием – колледж (класс Сергея Арцибашева). Принимал участие в Международной летней фортепианной академии в Самедане (Швейцария), где занимался у Рены Шерешевской (2017). В 2018–2021 годах обучался в ее классе в Высшей школе музыки имени Альфреда Корто в Париже. С 2021 года – студент Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского (класс профессора Павла Нерсесьяна).
Победитель международных конкурсов имени Наримана Сабитова в Уфе, Astana Рiano Passion (Гран-при), в Иль-де-Франс (Франция), Манхэттенского конкурса в Нью-Йорке. Лауреат Молодежных Дельфийских игр в Екатеринбурге (Золотая медаль среди участников из России и Серебряная медаль среди участников из стран СНГ), конкурсов Владимира Крайнева в Москве, Паломы О’Ши в Сантандере и имени Марии Канальс в Барселоне (Испания), в Сучжоу (Китай), Гастингсе (Великобритания). Удостоен Гранта мэра Москвы I степени (2017). В 2022 году завоевал I премию на Международном конкурсе пианистов, композиторов и дирижеров имени С. В. Рахманинова в Москве, в 2025 – II премию Международного музыкального конкурса в Сендае (Япония).
С 2022 года – артист фирмы Yamaha.
Выступал в залах Московской филармонии, Московской консерватории, Большом и Мариинском театрах, артистическом центре Yamaha в Москве, Зале Альфреда Корто в Париже, Дворце каталонской музыки в Барселоне, Дворце фестивалей Кантабрии в Сантандере (Испания) и других.
Играл с Национальным филармоническим оркестром России, Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова, Академическим симфоническим оркестром Московской филармонии, оркестрами Санкт-Петербурга, Иркутска, Ростова, Уфы, Филармоническим оркестром Будапешта, Симфоническим оркестром радио и телевидения Испании и другими. Принимал участие в фестивалях «Звезды на Байкале» в Иркутске, «Музыкальный Олимп» в Санкт-Петербурге, Gradus в Орхусе (Дания).
Сотрудничал с известными дирижерами, среди которых Валерий Гергиев, Владимир Спиваков, Юрий Симонов, Александр Сладковский, Александр Титов, Юрий Ткаченко, Вячеслав Валеев, Димитрис Ботинис, Александр Рудин, Валерий Полянский, Иван Рудин, Арсентий Ткаченко, Алексей Рубин, Фёдор Безносиков, Андрей Колясников, Владимир Рыжаев, Мигель Анхель Гомес Мартинес, Манель Вальдивьесо, Хосе Антонио Молина, Рори Макдоналд.