Александр Осминин родился в 1981 году в Москве. Начал обучение игре на фортепиано под руководством Инессы Антыпко. В 2006 году окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (класс профессора Элисо Вирсаладзе), в 2008 году – ассистентуру-стажировку вуза. Лауреат международных конкурсов в Румынии, Италии, Швеции и России.
Ведет активную концертную деятельность, гастролировал во многих городах России, а также в Италии, Германии, Франции (в частности, выступал в парижском Зале Корто), Швеции, Норвегии, Австрии, Португалии, Румынии. Дал сольный концерт в мюнхенском центре Гайстайг. Принимал участие в музыкальных фестивалях в России и Европе.
Репертуар пианиста разнообразен и охватывает широкий временной и жанровый диапазон – от сонат Скарлатти до современной музыки.
Неоднократно выступал в Большом зале Московской консерватории с Государственным симфоническим оркестром «Новая Россия» под управлением Евгения Бушкова. В камерных ансамблях играл с Наталией Гутман, Элисо Вирсаладзе, Фёдором Белугиным, Александром Бузловым, Андреем Барановым, Евгением Петровым, Алексеем Кошванцом и другими известными музыкантами.
В настоящее время – концертмейстер на кафедре альта под руководством Юрия Башмета в Московской консерватории и концертмейстер Мастерской скрипичного искусства под руководством Фёдора Белугина.