Александр Шайкин родился в 1987 году в г. Чебоксары, где получил начальное музыкальное образование. С 2002 по 2005 год обучался в школе-десятилетке имени Гнесиных в классе педагога А.Ф. Арзамановой, в 2005-2010 годах — в Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского, где его наставниками были профессора Э. К. Вирсаладзе, В. Н. Чачава (концертмейстерское искусство) и А. З. Бондурянский (камерный ансамбль). В 2009–2010 годах являлся обладателем стипендии Президента РФ. В 2013 году окончил аспирантуру Московской консерватории в классе Э. К. Вирсаладзе. Сейчас совершенствуется в Университете «Моцартеум» в Зальцбурге в классе профессора П. Гилилова.
А. Шайкин — лауреат международных конкурсов: I Международного конкурса пианистов имени С. Губайдулиной в Казани (I премия, 2006), IV Международного конкурса пианистов в Алматы (I премия, 2008), Международного конкурса Frechilla-Zuloaga в Вальядолиде (Испания, II премия, 2009), VI Международного конкурса пианистов в Салониках (Греция, III премия, 2013). В составе фортепианного трио стал победителем IV Международного конкурса камерных ансамблей имени С. И. Танеева (Калуга, 2011), I Всероссийского музыкального конкурса (2011), VIII Международного конкурса «Франц Шуберт и современная музыка» в Граце (Австрия, 2012).
Выступал как солист, с оркестром и в составе различных ансамблей во многих городах России (Москва, Казань, Нижний Новгород, Новосибирск, Смоленск, Тверь, Калуга, Кострома, Краснодар, Ставрополь, Чебоксары, Орел, Оренбург, Орск, Ханты-Мансийск, Череповец, Тольятти, Ярославль и другие), а также в Италии, Германии, Испании, Швейцарии, Австрии, Азербайджане, Эстонии, Казахстане, Украине.
В качестве солиста играл в сопровождении Государственного академического симфонического оркестра России имени Е. Ф. Светланова, Президентского оркестра РФ, Академического симфонического оркестра Московской филармонии, Ярославского академического симфонического оркестра, Государственных оркестров Азербайджана, Казахстана, коллективов Испании, Германии, Греции и других стран.