Музыкант родился в 1946 году в Москве. Окончил Московское хоровое училище (1964) и Московскую государственную консерваторию им. П. И. Чайковского (1969) по классу проф. А. Б. Хазанова. С 1981 года преподает в Московском хоровом училище им. А. В. Свешникова, а с 1991 года — также в Академии хорового искусства им. В. С. Попова.
Деятельность Александра Александровича Шишонкова охватывает разные сферы: он ведет активную концертную, педагогическую и научную работу. Под его руководством Хор Академии участвовал в исполнении таких монументальных произведений, как оратории «Христос» Ф. Листа (дирижер – Е. Светланов) и «Жанна д`Арк на костре» А. Онеггера (дирижер – В. Спиваков), «Реквием» Дж. Верди (дирижер – Р. Баршай), пассионы «Страсти по Матфею» и «Страсти по Иоанну» И. С. Баха, «Реквием» В. А. Моцарта (дирижер – В. Попов), «Чичестерские псалмы» и Симфония № 3 («Каддиш») Л. Бернстайна, «Военный реквием» Б. Бриттена, «Stabat Mater» Дж. Б. Перголези, «Маленькая кантата» и «Весенняя кантата» Г. Свиридова, Симфония № 8 Г. Малера и многих других сочинений.
Хор мальчиков под руководством А. А. Шишонкова выступал совместно с выдающимися мастерами мировой оперной сцены — Д. Хворостовским, М. Кабалье, С. Лейферкусом, Х. Каррерасом, Д. Корчаком, В. Ладюком, Х. Гезмавой, Н. Диденко, А. Татаринцевым.
А. Шишонков ежегодно проводит лекции и мастер-классы для преподавателей ДМШ, ДШИ, училищ и ВУЗов страны в рамках федеральной целевой программы «Культура России (2012–2018 годы)» ипрограммы повышения квалификации работников культуры.
Хор под руководством А. Шишонкова постоянно приглашается для проведения Патриарших служб в Московском Кремле и в храмах городов России. Он участвует в проведении церковных празднеств, благотворительных акций и концертов для детей и юношества. В 2014 году состоялось выступление хора в концертных программах зимних Олимпийских игр в г. Сочи.
Александр Шишонков является членом жюри ряда Всероссийских и международных конкурсов, в том числе конкурсов хоровых дирижеров, проводимых в Академии хорового искусства им. В.С. Попова. Он имеет звание Заслуженного артиста Российской Федерации, неоднократно награждался почётными грамотами и благодарностями Министерства Культуры РФ.