Александр Щуров получил образование в Луганской государственной академии культуры и искусств имени М. Л. Матусовского (ударные инструменты). С отличием окончил Ростовскую государственную консерваторию имени С. В. Рахманинова по специальности «оперно-симфоническое дирижирование» (класс профессора Александра Гончарова). Участвовал в мастер-классах Валерия Леонова, Лютаураса Бальчунаса, Юрия Симонова.
С 2014 года – дирижер Академического симфонического оркестра Луганской академической филармонии, с 2021 года – главный дирижер. Под управлением Александра Щурова АСО Луганской филармонии много гастролировал по России. Дирижер также активно сотрудничает с Донецким академическим симфоническим оркестром имени С. С. Прокофьева. В его репертуаре – русская и европейская симфоническая и оперная классика, произведения современных композиторов.
В 2007–2013 годах – неоднократный победитель международных конкурсов инструменталистов. Лауреат I степени II Международного музыкального конкурса имени Р. М. Глиэра в номинации «дирижирование» (2018). Заслуженный деятель искусств Луганской Народной Республики (2020). Награжден медалями «За верность долгу» (2017) и «За заслуги» ІІ степени (2019).