Александр Синюков родился в Уфе в 1969 году. Учился в Российской академии театрального искусства (ГИТИС) на актерско-режиссерском курсе Марка Захарова. Играл в постановках Московского театра «Ленком»; в спектаклях «Не все коту масленица» Театра-студии «Человек», «Плохая квартира» Центра имени М. Н. Ермоловой, «Дядя Ваня» «Дебют-центра» при Центральном Доме актера имени А. А. Яблочкиной.
С 1998 года работает в Московском драматическом театре имени К. С. Станиславского (ныне Электротеатр «Станиславский»). Играл в репертуарных спектаклях театра «Завещание по-итальянски», «Мужчина и женщина», «7 дней до потопа», «Иван Васильевич», «Мольер», «Черная курица»; участвовал в спектаклях режиссера Владимира Мирзоева «Укрощение строптивой», «Двенадцатая ночь», «Семеро святых из деревни Брюхо» и «Сон в летнюю ночь».
С 1997 года активно снимается в кино. Сотрудничал с режиссерами Николаем Досталем, Александром Коттом, Владимиром Мирзоевым, Виктором Шамировым, Элиной Суни и другими. Помимо работы в театре и кино Александр Синюков сочиняет и исполняет песни. Организовал группу, с которой записал несколько альбомов.
С 2003 года работает в Московской филармонии. Совместно с режиссером Антониной Кузнецовой подготовил более десяти сольных чтецких программ, среди которых «Пушкин в лицее» Тынянова, «Моя Москва» Шмелёва, «Записки охотника» Тургенева, «Белые ночи» Достоевского, «Евгений Онегин» Пушкина, «Романтики 20-х годов», «Сыны Москвы Двенадцатого года» и другие. Принимает участие в литературных абонементах в Камерном зале филармонии и Центральном доме художника, проводит концерты для учащихся младших классов в школах и детских библиотеках Москвы.