Александр Сладковский родился в 1965 году в Таганроге. Окончил Московскую и Санкт-Петербургскую консерватории. Лауреат III Международного конкурса имени С. С. Прокофьева в Санкт-Петербурге (1999).
Дебютировал в Государственном театре оперы и балета Санкт-Петербургской консерватории оперой Моцарта «Так поступают все женщины». Ассистировал Марису Янсонсу и Мстиславу Ростроповичу. В 2004–2006 гг. – главный дирижер Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга, в 2006–2010 гг. – дирижер Государственного симфонического оркестра «Новая Россия».
С 2010 года – художественный руководитель и главный дирижер Государственного симфонического оркестра Республики Татарстан (в 2021 году оркестру присвоено звание «академический»). Маэстро радикально изменил ситуацию в коллективе, значительно повысив его статус в музыкально-общественной жизни страны. ГАСО РТ – первый российский региональный коллектив, чьи выступления записаны на телеканалах Medici.tv и Mezzo. Он также стал первым и остается единственным региональным оркестром, проводящим собственный абонемент в Московской филармонии.
В 2016 году в рамках европейского турне ГАСО РТ впервые дал концерты в Брукнерхаусе (Линц) и Золотом зале Музикферайна (Вена). В 2014 и 2019 годах оркестр и Александр Сладковский приняли участие в фестивале «Безумный день» (La folle journée) в Японии и Франции, в 2019 году – в Международном фестивале фортепианной музыки в Ла-Рок-д’Антероне (Франция). В 2015–2023 гг. ГАСО РТ и Александр Сладковский гастролировали в Турции, Словакии, Швейцарии, Германии, Испании, ОАЭ, Омане и Китае.
В 2012 году оркестр под управлением Александра Сладковского выпустил «Антологию музыки композиторов Татарстана» и альбом «Просветление» под лейблами Sony Music и RCA Red Seal Records. В 2016 году под управлением маэстро на фирме «Мелодия» были записаны три симфонии Малера, все симфонии и концерты Шостаковича. Весной 2020 года состоялся релиз всех симфоний и инструментальных концертов Чайковского на фирме Sony Classical. В августе оркестр и маэстро записали для Sony оркестровые сочинения Рахманинова, в июле 2021-го – все симфонии Бетховена и русские балеты Стравинского. В марте 2023 года состоялся релиз альбома Rachmaninoff, выпущенного ГАСО РТ и Александром Сладковским на виниле к 150-летию со дня рождения композитора.
Осенью 2019 года Александр Сладковский выступил дирижером-постановщиком оперы «Травиата» Верди в московском театре «Геликон-опера» (режиссер – Дмитрий Бертман).
Основатель и художественный руководитель музыкальных фестивалей «Рахлинские сезоны», «Белая сирень», «Казанская осень», Concordia, Органного фестиваля. Учредитель проекта «Достояние республики» для одаренных воспитанников музыкальных школ и студентов консерватории, образовательных проектов для школьников Казани «Уроки музыки с оркестром» и «Волшебные струны оркестра», благотворительных проектов «Исцеление музыкой» для инвалидов и тяжелобольных детей.
Удостоен почетных званий «Народный артист Российской Федерации» (2016) и «Народный артист Республики Татарстан» (2020), премии Олега Янковского «Творческое открытие» (2012), ордена «Дуслык» – «Дружба» за особые заслуги перед Республикой Татарстан (2015), Международной премии имени Сергея Рахманинова в номинации «Специальный проект во имя Рахманинова» за особое внимание к творчеству композитора и за организацию Международного фестиваля «Белая сирень» (2019). Член Совета по государственной культурной политике при Председателе Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации.
С 2021/22 учебного года – профессор кафедры оперно-симфонического дирижирования Казанской государственной консерватории имени Н. Г. Жиганова. В 2022 году стал первым обладателем Большой оркестровой премии «440 герц» в номинации «Дирижер».
