Александр Слуцкий родился в Баку. Получил образование как скрипач в ЦМШ при Бакинской консерватории и в Новосибирской консерватории. Окончил Восточно-Сибирскую академию искусств по специальности «оперно-симфоническое дирижирование». Прошёл мастер-класс у финского дирижёра Й. Панулы. Работал в Новосибирской и Кемеровской филармониях.
В 1973 г. стал артистом Госоркестра Союза ССР под руководством Е. Светланова. За годы работы в оркестре в качестве скрипача сыграл несколько тысяч концертов в лучших концертных залах Рос¬сии и 52 стран мира (Carnegie Hall в Нью-Йорке, Kennedy Center в Вашингтоне, Albert Hall в Лон¬доне, Musikverein в Вене, Concertgebouw в Ам¬стердаме, Gewandhaus в Лейпциге, Suntory Hall в Токио и многих других). Выступал с дирижёра¬ми М. Горенштейном, В. Гергиевым, Д. Китаенко, К. Кондрашиным, Л. Маазелем, К. Мазуром, З. Метой, Н. Рахлиным, Г. Рождественским, Е. Светлановым, В. Спи¬ваковым, Ю. Темиркановым, К. Цекки.
Под влиянием искусства Евгения Светланова Александр Слуцкий стал ув¬лечённо заниматься дирижированием. Сотрудничал с оркестрами «Кремлин», Московским симфоническим оркестром, симфоническим оркестром «Молодая Россия», другими коллективами России, гастролировал в США, Турции, Украине. С 2003 г. – дирижёр Государственного академического симфонического оркестра России имени Е. Ф. Светланова. Принимает активное участие в выступлениях Госоркестра в России и за рубежом. В мае 2008 г. под его управлением с успехом прошли концерты в рамках гастролей Госоркестра в Великобритании.
Большое внимание А. Слуцкий уделяет творчеству современных композито¬ров, исполнение произведений которых удостоилось благодарности Т. Хреннико¬ва, Р. Щедрина, А. Эшпая, а также сотрудничеству с молодыми музыкантами, вы¬ступая с ними в рамках абонемента «Молодые таланты» Московской филармонии. В 2004 г. ему присвоено звание «Заслуженный артист России».
В сезоне 2011/12 Слуцкий выступал в рамках абонемента «Молодые таланты», кроме того, с Татьяной Колесовой, Еленой Корженевич и Александром Раммом (этот концерт состоялся 10 ноября 2011 года).
