Александр Соловьёв окончил Российскую академию музыки имени Гнесиных (1998) и ассистентуру-стажировку РАМ (2000) по специальности «хоровое дирижирование» (класс Владимира Семенюка). В 2006 году окончил ассистентуру-стажировку по специальности «оперно-симфоническое дирижирование» под руководством Владимира Федосеева. В 1998–2006 гг. совершенствовался под руководством Арнольда Каца.Победитель Международного конкурсадирижеров имени Димитриса Митропулоса в Афинах (2010).
В 1995–2010 гг. – второй дирижер Московского государственного академического камерного хора под управлением Владимира Минина. В 2011–2020 гг. – дирижер Большого театра России и Молодежной программы ГАБТа. Более десяти лет сотрудничал с Центром оперного пения имени Галины Вишневской.
С 2020 года – главный дирижер и музыкальный руководитель Михайловского театра в Санкт-Петербурге.
В 2001–2020 гг. преподавал в Российской академии музыки имени Гнесиных, в 2011–2014 гг. руководил симфоническим оркестром РАМ. С 2021 года преподает в Санкт-Петербургской государственной консерватории имени Н. А. Римского-Корсакова (с 2023 года – профессор).
Председатель экспертного совета и член жюри Национальной оперной премии «Онегин».
В качестве ассистента и второго дирижера сотрудничал с выдающимися российскими и зарубежными маэстро, среди которых Владимир Федосеев, Саулюс Сондецкис, Владимир Спиваков, Михаил Плетнёв, Василий Синайский, Марчелло Виотти, Фабио Луизи, Эвелино Пидо, Энрике Маццола. Принимал участие в записях для фирм Deutsche Grammophon и Naxos. Выступал с известными солистами, такими как Зураб Соткилава, Ирина Архипова, Евгений Нестеренко, Маквала Касрашвили, Мария Гулегина, Хибла Герзмава, Паата Бурчуладзе, Ильдар Абдразаков, Лора Клейкомб, Томас Аллен, Лео Нуччи, Николай Луганский, Денис Мацуев, Александр Гиндин, Александр Рамм, Айлен Притчини многие другие.
Сотрудничает с ведущими российскими и зарубежными коллективами, в числе которых Национальный филармонический оркестр России (в частности был участником, а затем руководителем дирижерско-стажерской группы НФОР), Госоркестр России имени Е. Ф. Светланова, Российский национальный оркестр, Большой симфонический оркестр имени П. И. Чайковского, оркестр «Новая Россия», Московский государственный академический симфонический оркестр, камерный оркестр «Виртуозы Москвы», Оркестр Пражского радио, Филармонический оркестр имени Артуро Тосканини (Парма), Orchestra of Colours (Афины), Симфонический оркестр Дома музыки в Порту.
