Александр Татаринов окончил Уральский музыкальный колледж (класс альта Любови Соколовой), Московскую государственную консерваторию (класс доцента Романа Балашова) и ассистентуру-стажировку МГК (класс профессора Юрия Башмета). Лауреат VII конкурса имени С. И. Савшинского в Санкт-Петербурге (I премия), VI Стокгольмского международного музыкального конкурса (III премия), VIII конкурса альтистов Viola Masters Юрия Башмета в Москве (II премия) и Vienna Classic Strings в Вене (III премия).
С 2012 года – артист Всероссийского юношеского симфонического оркестра под управлением Юрия Башмета. В составе этого коллектива гастролировал в России и за рубежом, выступал на Церемонии закрытия Зимней Олимпиады 2014 года в Сочи. В 2015–2019 годах – артист Российского национального оркестра. В настоящее время играет в оркестре musicAeterna под руководством Теодора Курентзиса. Как солист выступал с оркестром «Новая Россия», ансамблем «Солисты Москвы» и другими коллективами. Принимал участие в проектах Санкт-Петербургского Дома музыки.