Алексей Балашов родился в 1983 году в Москве. В 2008 году окончил Московскую государственную консерваторию (класс профессора Алексея Уткина). Посещал мастер-классы выдающихся гобоистов Франсуа Лелё, Кристиана Шмитта, Алексея Огринчука, Барта Шнеемана, Марка Финка, Марселя Понселя, Паоло Грацци.
Лауреат международных конкурсов в России, Швеции, Германии и Швейцарии.
В 2010–2013 годах – артист Академического симфонического оркестра Московской филармонии, в 2015 году – артист оркестра Приморского театра оперы и балета во Владивостоке (ныне Приморская сцена Мариинского театра). В 2013 году был художественным руководителем оркестра «Царская башня» и ансамбля солистов Art Style.
В качестве солиста выступал с симфоническими и камерными оркестрами Москвы, Санкт-Петербурга, Краснодара, Самары, Казани, Екатеринбурга, Новосибирска, Томска, Якутска и других городов России. Сотрудничал с дирижерами Юрием Симоновым, Владимиром Федосеевым, Рустемом Абязовым, Кристианом Кнаппом, Сальваторе Чичеро, польским органистом Гедымином Груббой.
Гастролирует по России, а также в Европе и странах Азии. Участник фестивалей «Московская осень», «Весна в России», Международного фестиваля Юрия Темирканова «Музыкальная коллекция» (Санкт-Петербург), Сибирского международного фестиваля органной музыки (Омск), фестивалей в Италии, Германии и Польше.
В репертуаре Алексея Балашова свыше 200 сочинений для гобоя, в том числе произведения, специально написанные для него современными композиторами. В 2011–2012 годах провел цикл концертов «Гобой в истории музыки». Выступал с сольными программами на Радио «Орфей» и «Еврорадио». Записал два CD на фирме Art Classics: с виртуозной музыкой для гобоя и фортепиано Антонио Паскулли (2012) и с русской музыкой «Очарование гобоя. Подарок из России» (2015).
Алексей Балашов играет на гобое немецкой фирмы Ludwig Frank.