Алексей Богорад родился в 1979 году в Москве в семье дирижера Владимира Богорада. С отличием окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского по специальностям «кларнет» (класс профессора Владимира Соколова, 2001) и «оперно-симфоническое дирижирование» (класс профессора Геннадия Рождественского, 2009).
Лауреат международных конкурсов дирижеров имени Стефана Турчака в Киеве (2010, II премия) и имени Ловро фон Матачича в Загребе (2011, I премия).
В 1997–2011 гг. – солист, артист группы кларнетов оркестра Большого театра, в 2001–2011 гг. – Российского национального оркестра под руководством Михаила Плетнёва.
В 2011–2012 гг. – дирижер Государственного академического симфонического оркестра России имени Е. Ф. Светланова, с 2012 года – дирижер Государственного академического Большого театра России, с 2015 года – приглашенный дирижер Екатеринбургского театра оперы и балета (ныне Урал Опера Балет).
В качестве дирижера-постановщика в Большом театре подготовил спектакль по «Путеводителю по оркестру» Бриттена (2012), оперу «Дитя и волшебство» Равеля (2013), балеты «Мойдодыр» Ефрема Подгайца (мировая премьера), «Марко Спада» Обера, «Орландо» на музыку Элгара, Гласса, Леры Ауэрбах и Елены Кац-Чернин (2021).
Выступил музыкальным руководителем постановок балета «Щелкунчик» Чайковского в Японии (2011), «Истории солдата» Стравинского в Театре-студии Института русского театра (2013), балетов «Корсар» Адана и «Ромео и Джульетта» Прокофьева в неаполитанском Театре Сан-Карло (2014 и 2016), «Баядерка» Минкуса в Национальном театре Белграда (2015), «Жизель» Адана и «Наяда и рыбак» Пуни в театре Урал Опера Балет в Екатеринбурге (2017).
Также в обширном театральном репертуаре дирижера – оперы «Дон Жуан» Моцарта, «Летучий голландец» Вагнера, «Фауст» Гуно, «Риголетто» Верди, «Кармен» Бизе, «Богема», «Тоска» и «Мадам Баттерфляй» Пуччини, «Воццек» Берга, «Руслан и Людмила» Глинки, «Иоланта», «Евгений Онегин» и «Пиковая дама» Чайковского, «Борис Годунов» Мусоргского, «Царская невеста» и «Майская ночь» Римского-Корсакова, «Огненный ангел» Прокофьева, множество балетов.
Выступал с Национальным филармоническим оркестром России, Российским национальным оркестром, Государственным академическим камерным оркестром России, Академическим симфоническим оркестром Санкт-Петербургской филармонии, оркестром Мариинского театра (в рамках состоявшегося в Санкт-Петербурге Саммита G20), оркестром Михайловского театра, Уральским академическим филармоническим оркестром, ГСО Республики Татарстан, Ростовским и Волгоградским академическими симфоническими оркестрами, Академическим симфоническим оркестром имени В. И. Сафонова. Продолжает регулярно выступать с Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова; в июне 2015 года дирижировал этим коллективом на XV Международном конкурсе имени П. И. Чайковского.
Сотрудничал с Пермским, Нижегородским, Новосибирским и Якутским театрами оперы и балета, Михайловским театром в Санкт-Петербурге, Национальными театрами в Праге и Белграде, неаполитанским Театром Сан-Карло, симфоническими оркестрами Литвы, Украины, Хорватии, Норвегии, Испании.
Дважды номинировался на премию «Золотая маска» как лучший дирижер в категориях «Балет» («Наяда и рыбак» Пуни – театр Урал Опера Балет, 2018) и «Опера» («Три сестры» Петера Этвёша – театр Урал Опера Балет, 2020).
