Родился в 1954 году в Тамбове. В 1984 окончил Московскую консерваторию и аспирантуру (класс профессора Б. Беленького). Лауреат двух международных конкурсов: им. Н. Паганини в Генуе (1977) и им. Ж. Тибо в Париже (1984). Обладая обширным репертуаром, включающим свыше 45 концертов, скрипач много выступал в России и за рубежом как солист, так и в сопровождении ведущих симфонических коллективов. Он участвовал в музыкальных фестивалях в Германии, Югославии, Австрии, России, вел мастер-классы в США, Южной Корее, Италии, Аргентине, Испании, гастролировал более чем в 40 странах мира, был первым исполнителем многих произведений отечественных и зарубежных композиторов. Разнообразный репертуар музыканта представлен несколькими компакт-дисками с записями сольной и ансамблевой музыки композиторов различных времен и стилистических направлений.
В течение ряда лет А. Бруни преподавал в Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского. Несколько лет он проработал концертмейстером в Государственном академическом симфоническом оркестре СССР под управлением Евгения Светланова.
Алексей Бруни принимал участие в создании Российского национального оркестра. C 1990 года является концертмейстером Российского национального оркестра под управлением Михаила Плетнёва. Участник Струнного квартета РНО.
Алексей Бруни удостоен почетного звания Народный артист России.
В свободное время пишет стихи и в 1999 году опубликовал свой первый сборник. Автор литературной редакции драмы Г. Ибсена «Пер Гюнт», адаптированной для одного чтеца (на музыку Э. Грига, для исполнения с оркестром, хором и солистами).