Алексей Чуйков родился в 1980 году в Московской области. Окончил Российскую академию музыки имени Гнесиных по специальности «дирижирование» (класс профессора Вячеслава Чистякова, 2004) и Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского по специальности «оперно-симфоническое дирижирование» (класс Станислава Дяченко, 2009). Принимал участие в мастер-классах Юрия Симонова и Вольфганга Чайпека.
С 2008 года – дирижер Московского государственного симфонического оркестра (художественный руководитель – Иван Рудин). Выступал с Академическим симфоническим оркестром Московской филармонии, Академическим симфоническим оркестром Национальной филармонии Украины, Московским камерным оркестром Musica Viva, оркестром Музыкального театра имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко, Академическим симфоническим оркестром Саратовской филармонии. С 2013 года сотрудничает с МХТ имени А. П. Чехова (Мхатовские вечера, спектакли «Бунтари», «Зойкина квартира»).<cut>
В 2012 году организовал камерный оркестр Legato. В 2014 году с оркестром Legatoи Московской хоровой капеллой мальчиков впервые в России исполнил произведение Джона Тавенера «Елизавета, исполненная благодати» (Elizabeth Full of Grace). В 2017 году в рамках международного фестиваля «Зеркало в зеркале» в Большом зале Московской консерватории представил российскую премьеру Salve Regina Эркки-Свена Тюура (переложение для скрипки с оркестром, солист – Андрес Мустонен).