Алексей Исаев родился в 1989 году в Тверской области. Окончил Ханты-Мансийский филиал Российской академии музыки имени Гнесиных (класс Михаила Пасхальского). В 2008 году одержал победу на Международном фестивале-конкурсе классической музыки «Венская весна» в Рузе и тогда же стал солистом Ханты-Мансийской филармонии.
В 2011 году был приглашен в труппу Московского музыкального театра «Геликон-опера». В репертуаре певца – Онегин, Роберт, Елецкий и Мазепа («Евгений Онегин», «Иоланта», «Пиковая дама» и «Мазепа» Чайковского), Грязной и Веденецкий гость («Царская невеста» и «Садко» Римского-Корсакова), Демон («Демон» Рубинштейна), Алеко («Алеко» Рахманинова), Эскамильо («Кармен» Бизе), Яго, Жермон, Ренато и Набукко («Отелло», «Травиата», «Бал-маскарад» и «Набукко» Верди), Граф Альмавива («Свадьба Фигаро» Моцарта), Лорд Энрико Эштон («Лючия ди Ламмермур» Доницетти), Сильвио («Паяцы» Леонкавалло), Альфио («Сельская честь» Масканьи), Потёмкин Таврический («Царица» Тухманова), Стародум («Кофейная кантата» Баха) и другие.
Выступал в венском Театре ан дер Вин, дрезденской Земпер-опере, театрах Висбадена (Германия) и Бари (Италия), театре «Эстония» в Таллине, Государственном Большом театре Узбекистана имени Алишера Навои, «Астана-опере» (Казахстан), принимал участие в фестивале Чайковского в Клину, оперных фестивалях Петера Дворски (Чехия), «Биргитта» и на о. Сааремаа (Эстония), в Риге, Монтекатини-терме (Италия) и Бангкоке (Таиланд). В 2019 году дебютировал в Мариинском театре в партии Графа ди Луны («Трубадур» Верди).
Сотрудничал с известными дирижерами, среди которых Валерий Гергиев, Владимир Федосеев, Владимир Спиваков, Юрий Башмет, Владимир Понькин, Александр Сладковский, Михаил Татарников, Фабио Мастранджело, Ян Латам-Кёниг и Евгений Бражник.
Ведет активную концертную деятельность. Участвовал в фестивале «Спасская башня», гала-концертах в рамках Дней славянской письменности и культуры и в честь 1025-летия Крещения Руси на Красной площади в Москве. Гастролировал по городам России с Симфоническим оркестром Министерства обороны РФ. Участник проектов «Большая опера» и «Романтика романса» на телеканале «Россия. Культура».