Алексей Кудряшов родился в Москве. Учился в Детской музыкальной школе № 3 имени Н. Я. Мясковского (класс Ольги Груздевой), Московском государственном училище музыкального исполнительства имени Ф. Шопена, Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского и ассистентуре-стажировке консерватории (класс профессора Веры Горностаевой). Занимался также у Льва Наумова, Андрея Диева и Алексея Наседкина.
Лауреат международных конкурсов имени Марии Юдиной в Санкт-Петербурге (Гран-при), конкурса пианистов, организованного Русской консерваторией имени А. Н. Скрябина в Париже (I премия), имени Хосе Итурби в Лос-Анджелесе (III премия и специальный приз), интернет-конкурса в Сербии (I премия в номинациях «фортепиано» и «дуэт»), Moscow Piano Open-2017 (III премия), Les Etoiles du Piano в Рубе (Франция, 2018, I премия и специальный приз от журнала Pianiste) и конкурса пианистов в Массарозе (Италия, 2018, II премия и приз публики). Удостоен специальных призов международных конкурсов имени Скрябина в Москве, имени А. И. Хачатуряна в Ереване и Европейского конкурса пианистов в Кане (Франция).
Выступает в России и за рубежом с сольными концертами, в камерных ансамблях и в сопровождении оркестров. Участвовал в международных фестивалях имени Скрябина в Париже, имени Шопена в Варшаве, «Дни Чайковского» в Гамбурге, в Рейнгау (Германия), Armonie della sera в Понцано-ди-Фермо (Италия), «К 110-летию со дня рождения Пуленка», «Великие имена искусства», посвященном Владимиру Крайневу, «Московская осень» в Москве и других. Выступал с дирижерами Фабио Мастранджело, Димитрисом Ботинисом, Русланом Жарским, Игорем Манашеровым и другими.
С 2012 года преподает в Московском государственном колледже музыкального исполнительства имени Ф. Шопена. Дает мастер-классы. С 2014 года – ответственный секретарь жюри Фестиваля романтической музыки молодых музыкантов Москвы. Является членом Международной ассоциации творческих работников, а также членом-корреспондентом Русской академии наук и искусств.
Записал компакт-диск с произведениями Шопена, Рахманинова и Скрябина. Участвовал в записях «Нотных папок пианистов» (серия «Золотая фонотека педагогического репертуара»).