Алексей Кулагин родился в Орле. Окончил Санкт-Петербургскую государственную консерваторию имени Н. А. Римского-Корсакова (2019, классы Николая Охотникова и Эдема Умерова). Выпускник Молодежной оперной программы Большого театра Россиипод руководством Дмитрия Вдовина (2019–2022). Принимал участие в программе международного молодежного творческого проекта «Балтийская музыкальная академия», в рамках которого гастролировал в странах Балтии. В 2020 году участвовал в Международной музыкальной академии Зимнего международного фестиваля искусств Юрия Башмета в Сочи, в 2022 году – в Молодежной программе Зальцбургского фестиваля (где дебютировал в постановке «Триптиха» Пуччини).
Участвовал в мастер-классах Любови Орфёновой, Семёна Скигина, Сергея Лейферкуса, Ивари Ильи, Нила Шикоффа, Джона Фишера, Эрнесто Паласио, Розетты Кукки, Евы-Марии Визер, Роберта Кёрнера,Ильдара Абдразакова, Мзии Бахтуридзе, Петра Бечалы, Екатерины Вашерук, Хиблы Герзмавы, Пласидо Доминго, Маквалы Касрашвили.
В сезоне 2018/19 – солист Санкт-Петербургского государственного детского музыкального театра «Зазеркалье».
Лауреат всероссийских и международных конкурсов, в том числе имени Н. П. Охотникова (2019, II премия), имени Георга Отса (2020, I премия) и Елены Образцовой в Санкт-Петербурге (2021, II премия), Фонда Елены Образцовой «Хосе Каррерас Гран-При» (2021, I премия) и Галины Вишневской в Москве (2021, I премия),Opera Сrown в Тбилиси (2021, I премия), имени Франсиско Виньяса в Барселоне (2022, IV премия и специальный приз), Эвы Мартон в Будапеште (2022, II премия).
В 2023 году на I Международном конкурсе вокалистов и концертмейстеров Хиблы Герзмавы удостоен Гран-при и специальных призов, в числе которых приглашение в труппу Московского академического Музыкального театра имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко, дебют в Мариинском театре, концерт в Большом зале Московской консерватории, запись камерной программы на фирме «Мелодия», интервью в журнале «Музыкальная жизнь», съемка в телепрограмме Сати Спиваковой «Нескучная классика» и выступление в Концертном зале имени П. И. Чайковского.
Алексей Кулагин выступал на крупнейших оперных и концертных сценах – в Большом театре России, Большом театре «Лисеу» в Барселоне, Голландской национальной опере в Амстердаме, Музыкальном театре имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко, Тбилисском государственном театре оперы и балета имени Закария Палиашвили, Концертном зале имени П. И. Чайковского, Большом зале Санкт-Петербургской филармонии, МКЗ «Зарядье» и др.
Работал с дирижерами Павлом Бубельниковым, Францем Вельзер-Мёстом, Лоренцо Виотти, Антоном Гришаниным, Дмитрием Корчаком, Александром Соловьёвым, Туганом Сохиевым, Филиппом Чижевским, Константином Чудовским и др., с режиссерами Барри Коски, Кристофом Лоем, Александром Петровым, Алексеем Степанюком.
В репертуаре – более двадцати пяти партий в операх и произведениях кантатно-ораториального жанра, среди которых Собакин («Царская невеста» Римского-Корсакова), Король Рене и Князь Гремин («Иоланта» и «Евгений Онегин» Чайковского), Тимур («Турандот» Пуччини), Алеко и Старик («Алеко» Рахманинова), Мазетто («Дон Жуан» Моцарта), партия баса в Реквиеме Моцарта и другие.