Алексей Моргунов родился в 1984 году в Магнитогорске. Окончил колледж при Магнитогорской государственной консерватории имени М. И. Глинки (2003) и Тамбовский государственный музыкально-педагогический институт имени С. В. Рахманинова (2008, класс дирижирования Алексея Артемьева). Участвовал в мастер-классах Курта Мазура и Владимира Федосеева.
Лауреат I Международного конкурса пианистов, композиторов и дирижеров имени С. В. Рахманинова в номинации «дирижирование» (2022, V премия).
В 2006 году стал соучредителем и дирижером частного Театра-студии оперы имени Сперанских в Тамбове. Совместно с оперным театром Российской академии музыки имени Гнесиных театр-студия поставил более 40 оперных спектаклей, в числе которых «Свадьба Фигаро» Моцарта, «Севильский цирюльник» Россини, «Дон Паскуале» Доницетти, «Травиата» Верди, «Богема» Пуччини, «Евгений Онегин» и «Пиковая дама» Чайковского.
Алексей Моргунов выступал с Симфоническим оркестром Мариинского театра, Большим симфоническим оркестром имени П. И. Чайковского, Государственным академическим симфоническим оркестром Республики Татарстан, Уральским молодежным симфоническим оркестром, детским хором «Весна», Магнитогорской государственной академической хоровой капеллой имени С. Г. Эйдинова и другими коллективами. Сотрудничал с Денисом Мацуевым, Борисом Березовским, Валентиной Лисицей, Гёкханом Айбулусом, Александром Ключко, Графом Муржой, Александром Тростянским, Ануш Никогосян, Александром Раммом, Евгением Румянцевым и др.
Принимал участие в Московском Пасхальном фестивале Валерия Гергиева, фестивалях «Денис Мацуев представляет…» в Екатеринбурге и «Московская осень», Международном музыкальном фестивале имени С. В. Рахманинова в Тамбове.
Осуществил премьеры сочинений Александра Чайковского, Ефрема Подгайца, Михаила Броннера, Ольги Викторовой, Олеси Ростовской, Татьяны Чудовой, Татьяны Сергеевой, Анны Ветлугиной, Натальи Хондо, Марины Шмотовой, Екатерины Карпенко, Евгении Бриль и других современных авторов.
В 2019 году в Ельце на открытом воздухе представил оперу «Легенда о граде Ельце, Деве Марии и князе Тамерлане» Александра Чайковского с Липецким симфоническим оркестром, Липецким камерным хором, солистами Липецкой филармонии и ведущих московских оперных театров (режиссер-постановщик – Георгий Исаакян, сценография – Эрнст Гейдебрехт, Германия).
С 2021 года – художественный руководитель и главный дирижер Академического симфонического оркестра имени С. В. Рахманинова (Тамбов). В 2023 году оркестр под руководством Алексея Моргунова осуществил видеозапись всех симфоний, «Симфонических танцев» и фортепианных концертов Рахманинова. В том же году Алексей Моргунов был исполнительным директором 41-го Международного музыкального фестиваля имени С. В. Рахманинова (60 концертов в 20 местах Тамбовской области).
Автор, дирижер и ведущий просветительского проекта «неДоступная классика», в рамках которого АСО имени С. В. Рахманинова провел более 70 интерактивных концертов для школьников и молодежи по всей Тамбовской области.
С 2008 года занимается педагогической деятельностью, его ученики получили более 100 лауреатских званий на международных и всероссийских конкурсах.
