Алексей Неклюдов окончил Школу (ныне колледж) музыкально-театрального искусства имени Галины Вишневской, Музыкальное училище имени Гнесиных и Академию хорового искусства имени В. С. Попова (класс профессора Светланы Нестеренко). В период обучения стал лауреатом российских и международных конкурсов.
В 2010 году дебютировал на сцене Большого зала Московской консерватории с Национальным филармоническим оркестром России под управлением Владимира Спивакова, исполнив партию тенора в Реквиеме Сен-Санса. В том же году стал обладателем гранта НФОР.
С 2013 года – солист Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова, где исполняет партии Лыкова («Царская невеста» Римского-Корсакова), Ленского («Евгений Онегин» Чайковского), Альфреда («Травиата» Верди), Неморино («Любовный напиток» Доницетти) и другие.
В 2014 году дебютировал в Большом театре России в роли Феррандо («Так поступают все женщины» Моцарта). В дальнейшем в его репертуар в ГАБТе вошли партии Кавалера Бельфьоре («Путешествие в Реймс» Россини), Царя Берендея («Снегурочка» Римского-Корсакова), Ленского («Евгений Онегин» Чайковского), Дона Оттавио («Дон Жуан» Моцарта). Принимал участие в программе «Кальман оперетта гала» на Исторической сцене ГАБТа и в рамках гастролей труппы в Китае.
Как приглашенный солист выступал в Израильской опере в Тель-Авиве (Израиль), Баденском государственном театре в Карлсруэ, берлинской Комише Опер, Немецкой опере на Рейне в Дюссельдорфе (Германия), Опере Бордо (Франция), Цюрихской опере и Театре Санкт-Галлена (Швейцария). Участвовал в фестивалях «Черешневый лес», «Владимир Спиваков приглашает…», в Кольмаре и Экс-ан-Провансе (Франция), в Брегенце, Зальцбурге и Брукнеровском фестивале в Линце (Австрия), в Генделевском фестивале в Германии, фестивале в Лиссабоне, оперном фестивале в Казани. На зарубежных сценах исполнял партии Альфреда, Феррандо, Дона Оттавио, Лыкова, Неморино, Оронта («Альцина» Генделя), Дона Базилио, Тамино («Свадьба Фигаро», «Волшебная флейта» Моцарта), Лорда Перси («Анна Болейн» Доницетти), Ринуччо («Джанни Скикки» Пуччини).
Сотрудничал с известными дирижерами и режиссерами, в числе которых Владимир Спиваков, Владимир Федосеев, Отто Тауск, Кен-Дэвид Мазур, Владимир Юровский, Марис Сирмайс, Михаил Плетнёв, Константин Орбелян, Петер Нойман, Стефано Монтанари, Фабио Мастранджело, Бенжамин Пьоннье, Гинтарас Ринкявичюс, Дмитрий Юровский, Фридер Берниус, Марк Минковски, Кирилл Серебренников, Якопо Спиреи, Дэвид Олден, Кристоф Лой, Флорис Виссери др.
