Алексей родился в 1985 году в Саратове. Будучи студентом Саратовской консерватории, он стал лауреатом нескольких вокальных конкурсов: Е. Образцовой в Санкт-Петербурге (2007), Г. Вишневской в Москве (2008) и конкурса имени Л. Паваротти в Москве, на котором получил первую премию. В дальнейшем Алексей успешно выступил на конкурсе OPERALIA Пласидо Доминго и по рекомендации великого артиста получил двухгодичную стажировку в Академии молодых певцов при Лос-Анджелесской опере.
Альексей Саяпин выступал на сценах Саратовского театра оперы и балета (Эдгардо в «Лючии ди Ламмермур» Доницетти) и Михайловского театра в Санкт-Петербурге (Альфред в «Травиате»). На американской сцене Алексей дебютировал в партии Тибальда в опере «Ромео и Джульетта» Гуно. В 2011 году он участвовал в Аспенском фестивале, где исполнил партию Лизандра в опере Бриттена «Сон в летнюю ночь». В 2014 году был участником проекта «Большая опера» на российском телеканале «Культура».
Международная известность к Алексею Саяпину пришла в 2012 году после его выступления в партии Пинкертона в опере Пуччини «Мадам Баттерфляй» на сцене театра Санта-Барбары (США). В том же году он исполнил партию тенора в «Реквиеме» Верди на концерте памяти жертв холокоста в Берлине. Летом 2013 года певец дебютировал в Аахенском театре в «Симоне Бокканегра» Верди, а осенью стал солистом оперного театра г. Эссена (Германия).
За два концертных сезона в немецком театре Алексей Саяпин успешно выступил в операх «Чужестранка» Беллини, «Енуфа» Яначека, «Идоменей» Моцарта, «Евгений Онегин» Чайковского (Ленский). После премьеры «Енуфы», где Алексей Саяпин спел одну из главных ролей, обозреватель издания Opernwelt отметил «благородный лирический голос певца, чувство стиля, красоту и гибкость его тембра».
В нынешнем сезоне Алексей Саяпин участвует в спектаклях «Макбет» (Макдуф) и «Травиата» (Альфред) Верди, «Любовь к трем апельсинам» Прокофьева (Принц). Весной 2016 года он исполнит партию Князя в опере Дворжака «Русалка».
