Алексей Татаринцев окончил Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина (2003, класс профессора Владимира Козлякова), Академию хорового искусства имени В. С. Попова (2006, класс доцента Веры Александровой) и ассистентуру-стажировку АХИ (2009).
Лауреат II Московского международного конкурса оперных артистов Галины Вишневской (III премия, 2008), Международного конкурса теноров памяти Лучано Паваротти в Санкт-Петербурге (I премия, 2008), Международного конкурса вокалистов имени М. И. Глинки (III премия, 2009).
С 2008 года – солист Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова. В 2010 году дебютировал в Большом театре России – в мировой премьере оперы «Вишневый сад» Филиппа Фенелона (концертное исполнение) в партии Яши, которую год спустя исполнил в постановке Парижской национальной оперы. В репертуар артиста в ГАБТе в дальнейшем вошли партии Итальянского певца («Кавалер розы» Р. Штрауса), Рудольфа («Богема» Пуччини), Графа Альмавивы («Севильский цирюльник» Россини), Эрнесто («Дон Паскуале» Доницетти), Шевалье Бельфьоре («Путешествие в Реймс» Россини).
Также в репертуаре певца – Владимир Игоревич («Князь Игорь» Бородина), Ленский, Менестрель («Евгений Онегин», «Орлеанская дева» Чайковского), Альфред («Летучая мышь» И. Штрауса), Герцог Мантуанский («Риголетто» Верди), Неморино и Эдгардо («Любовный напиток» и «Лючия ди Ламмермур»Доницетти), Рамиро («Золушка» Россини), Тамино («Волшебная флейта» Моцарта), Альфред («Травиата» Верди), Тибальд («Капулети и Монтекки» Беллини) и другие партии, а также произведения кантатно-ораториального жанра.
Выступал в спектаклях Мариинского театра, Палм Бич Оперы (США), Оперы Мальмё (Швеция), Королевской оперы Версаля (Франция), Королевского театра в Турине (Италия), участвовал в международных фестивалях в Германии, Франции, Финляндии (Савонлинна), Бельгии, Венгрии, Швейцарии, Японии, Южной Корее, Нидерландах. Принимал участие в проектах известных дирижеров, в числе которых Владимир Федосеев, Владимир Спиваков, Михаил Плетнёв, Теодор Курентзис, Саулюс Сондецкис, Джон Нелсон, Энрике Маццолла и другие.
Тесно сотрудничает с мужским хором Московского Сретенского монастыря, с которым принял участие в Днях культуры России в странах Латинской Америки (2008) и гастрольном турне по США (2012).
В 2016 году удостоен Национальной театральной премии «Золотая маска» в номинации «Лучшая мужская роль» (за роль Ромео в опере «Ромео и Джульетта» Гуно), Премии города Москвы в области литературы и искусства в номинации «Музыкальное искусство» и Национальной оперной премии «Онегин» в номинации «Мастер сцены» (за роль Рудольфа в опере «Богема»). Заслуженный артист Республики Северная Осетия – Алания (2015).
