Алексей Тихомиров родился в Казани. Обучался на дирижерско-хоровом (2003) и вокальном (2006) факультетах Казанской государственной консерватории имени Н. Г. Жиганова (классы доцента Любови Дразниной и профессора Юрия Борисенко), в 2004–2006 гг. – в Центре оперного пения Галины Вишневской (класс профессора А. С. Белоусовой-Фадеичевой). В настоящее время – преподаватель Центра.
Победитель I Международного конкурса оперных артистов Галины Вишневской (2006), Республиканского конкурса Татарстана «Лучший молодой бас» (2007).
С 2005 года – солист Московского музыкального театра «Геликон-опера», на сцене которого исполнил более 20 ведущих партий. В их числе Борис Годунов, Пимен, Варлаам («Борис Годунов» Мусоргского), Гремин («Евгений Онегин» Чайковского), Собакин и Царь Додон («Царская невеста» и «Золотой петушок» Римского-Корсакова), Дон Базилио («Севильский цирюльник» Россини), Рамфис («Аида» Верди), Адвокат Коленатый («Средство Макропулоса» Яначека), Король Треф («Любовь к трем апельсинам» Прокофьева), Борис Тимофеевич («Катерина Измайлова» Шостаковича). В составе труппы театра гастролировал в Израиле, Италии, Франции, Болгарии, Эстонии, Бразилии и на Кипре.
С 2015 года – также солист Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова, где выступает в операх «Борис Годунов» Мусоргского (заглавная партия), «Князь Игорь» Бородина (Галицкий), «Фауст» Гуно (Мефистофель), «Риголетто» Верди (Спарафучиле), «Царская невеста» (Собакин), «Евгений Онегин» (Гремин), «Севильский цирюльник» (Дон Базилио).
С 2010 года – приглашенный солист Большого театра России, на сцене которого дебютировал в партии Зарастро («Волшебная флейта» Моцарта). Исполнял партию Руслана в опере «Руслан и Людмила» Глинки на открытии Исторической сцены ГАБТа после реконструкции (2011). В текущем репертуаре Большого выступает также в партиях Салтана («Сказка о царе Салтане» Римского-Корсакова), Великого инквизитора («Дон Карлос» Верди), Пимена, Гремина.
Приглашенный солист Михайловского театра в Санкт-Петербурге (Гремин, Зарастро, Водяной в «Русалке» Дворжака, Князь Вязьминский в «Опричнике» Чайковского) и Новосибирского театра оперы и балета (НОВАТ). Выступал в Екатеринбургском и Красноярском театрах оперы и балета, Варшавской национальной опере, Франкфуртской опере, Венской государственной опере и венском Театре ан дер Вин, Токийской национальной опере, Опере Монте-Карло, Большом театре Женевы, Римской опере, Театре имени Верди в Буссето, Лионской опере, Королевском театре де ла Монне в Брюсселе, Валлонской королевской опере в Льеже, Гамбургской опере, Комише Опер в Берлине, Королевском театре Мадрида, Муниципальном театре Сантьяго (Чили) и многих других, сконцертными программами – в залах Музикферайн в Вене, Консертгебау в Амстердаме, Де Дулен в Роттердаме. Принимал участие в Зальцбургском фестивале (опера «Моисей и фараон» Россини), Оперном фестивале на острове Корфу («Норма» Беллини), фестивалях в Сантандере (Испания), «Хорегии Оранжа» (Франция), имени Ф. И. Шаляпина в Казани, «Дыхание Байкала» в Иркутске.
Сотрудничал с дирижерами Риккардо Мути, Зубином Метой, Михаилом Плетнёвым, Владимиром Спиваковым, Михаилом, Владимиром и Дмитрием Юровскими, Василием Синайским, Теодором Курентзисом, Илмаром Лапиньшем, Владимиром Федосеевым, Геннадием Дмитряком, Туганом Сохиевым, Кентом Нагано и другими. Запись 13-й симфонии Шостаковича («Бабий Яр») Чикагского симфонического оркестра под управлением Риккардо Мути с участием Алексея Тихомирова в 2019 году номинировалась на премию «Грэмми».
Лауреат Премии города Москвы вобласти литературы иискусства (2017). Заслуженный артист Республики Татарстан (2022).
