Алексей Толстов родился в Москве в 1975 году. Выпускник Московского государственного педагогического института имени М. М. Ипполитова-Иванова (2001, класс проф. Н. Н. Шаховской).
Лауреат Всероссийского молодежного конкурса имени П.И.Чайковского и С.В.Рахманинова (Вологда, 1992), Международного конкурса ассоциации «Творческое наследие» (2000, первая премия), Международного конкурса камерных ансамблей имени М.Юдиной (Санкт-Петербург, 2002). Обладатель именной стипендии Международного фонда М.Ростроповича.
С 2001 по 2007 год Алексей Толстов являлся участником камерного ансамбля «Новое Трио». С 1998 по 2007 - концертмейстер виолончельной группы Московского камерного оркестра «Времена года» под управлением В. Булахова.
С 2007 года – участник камерного ансамбля «Солисты Москвы» под управлением Юрия Башмета. Выступает с сольными программами и в составе камерных ансамблей в России и за рубежом. Принимал участие в музыкальных фестивалях в Мохонке (США), на о.Эльба (Италия), в Куршевеле (Франция), Кройте (Германия), фестивалей Ю. Башмета в Ярославле, Минске, Сочи.
С 2010 года Алексей Толстов – почетный член Международной академии профессионалов (I.A.P.)