Александр Канторов родился в 1997 году в Клермон-Ферране в семье музыкантов. С пяти лет начал обучаться игре на фортепиано в Региональной консерватории Сержи-Понтуаза. Позднее обучался под руководством Пьер-Алена Волондá, Игоря Лазько (в парижской Schola Cantorum), Фрэнка Брейли и Харуко Уэды, а также в Нормальной школе музыки в Париже у Рены Шерешевской.
В 16-летнем возрасте принял участие в фестивале «Безумный день» в Нанте и выступил с оркестром Sinfonia Varsovia в Варшаве, год спустя дебютировал в Парижской филармонии с оркестром имени Жюля Падлу. В дальнейшем выступал с Оркестром де Пари, оркестром Берлинской государственной капеллы, Королевским филармоническим оркестром и оркестром «Филармония» (Лондон), Королевским филармоническим оркестром Стокгольма, Кансайским филармоническим оркестром, Симфоническим оркестром Тайбэя, Королевским филармоническим оркестром Льежа, Женевским и Бернским оркестрами, гастролировал с Национальным оркестром Капитолия Тулузы, Будапештским фестивальным и Мюнхенским филармоническим оркестрами.
Участник фестиваля в Вербье, фортепианных фестивалей в Ла-Рок-д’Антероне, Гейдельберге, Тулузе (Piano aux Jacobins), Руре. Выступал в берлинском Концертхаусе, амстердамском зале Консертгебау, Дворце изящных искусств в Брюсселе, фонде Louis Vuitton в Париже, Концертхаусе в Стокгольме. В марте 2020 года, заменив Мюррея Перайю, дал сольный концерт в нью-йоркском Карнеги-холле.
В 2019 году завоевал I премию, золотую медаль и Гран-при на Международном конкурсе имени П. И. Чайковского в Москве, став первым победителем из Франции за всю историю состязания. Как победитель конкурса многократно выступил с Симфоническим оркестром Мариинского театра под управлением Валерия Гергиева в разных городах Европы.
Диск Александра Канторова À la russe (с произведениями Чайковского, Рахманинова, Стравинского и Балакирева), записанный в 2017 году на фирме BIS, получил высокую оценку и ряд престижных наград от журналов Classica, Diapason, Pizzicato и PIANONews. На той же фирме Канторов записал фортепианные концерты Листа (2015) и Сен-Санса (2019), а также рапсодии Брамса, Бартока и Листа, Вторую сонату Брамса (2020). Последние два альбома были удостоены премий Diapason d'Or и Choc Classica, а также были отмечены как «выбор редактора» британского журнала Gramophone. Выпущенный недавно фирмой BIS альбом «Хосе Серебрьер – композитор и дирижер», в котором Александр Канторов исполнил сольную партию в Симфонических вариациях на тему BACH для фортепиано с оркестром Серебрьера, номинирован на премию «Грэмми»-2021 в категории «Лучший сборник классической музыки».
В 2019 году пианист получил приз в категории «Музыкальное открытие года» от Ассоциации профессиональных театральных, балетных и музыкальных критиков, в 2020-м – две премии Victoires de la Musique Classique: в номинациях «Запись года» (за альбом с концертами Сен-Санса) и «Инструменталист года».
