Альвизе Казеллати родился в 1973 году в Падуе. Окончил Падуанскую консерваторию по классу скрипки (класс Гвидо Фурини), затем совершенствовался у Феличе Кузано и Тараса Габоры. С 2007 года обучался дирижированию в Джульярдской высшей школе музыки в Нью-Йорке; в 2009–2010 годах занимался с Пьеро Беллуджи и ассистировал ему на мастер-классах. В сезоне 2012/13 был ассистентом дирижера Густава Куна на фестивале Tiroler Festspiele Erl в Австрии.
Параллельно с музыкальным получил юридическое образование в Колумбийском университете в Нью-Йорке (специализируясь на авторском праве) и прошел курс высшего менеджмента в Гарвардском университете.
Как дирижер Казелатти дебютировал в 2011 году в венецианском театре Ла Фениче – на концерте, посвященном 150-летию объединения Италии. В 2014-м стал дирижером-резидентом Театра Карло Феличе в Генуе, дебютировав с оперой «Севильский цирюльник» Россини; возглавлял в этом театре оперную студию – проект с участием 30 молодых певцов, собранных со всего мира.
Дирижер сотрудничает с крупнейшими оперными театрами Италии, среди которых Ла Фениче в Венеции, Сан-Карло в Неаполе, Карло Феличе в Генуе, Филармонический театр в Вероне, Театр Верди в Триесте, Театр Петруццелли в Бари, Лирический театр Кальяри, Театр Верди в Падуе. Он выступал с известными симфоническими оркестрами Италии (Турина, Милана, Тренто и Больцано, Падуи и Венето, Санремо, Салерно, фестиваля «Флорентийский музыкальный май», Арена ди Верона и др.), Шанхайским филармоническим оркестром, Симфоническим оркестром Центрального парка (Нью-Йорк), оркестром «Виртуозы Киева» и многими другими коллективами. Дирижер также сотрудничал с всемирно известными солистами, среди которых Ирина Лунгу, Артуро Чакон Крус, Бенедетто Лупо, Юлиан Рахлин, Алессандро Таверна, и многими восходящими звездами.
Приглашенный дирижер музыкальных фестивалей в Италии (Равелло, Валле-д’Итрия, Эмилия-Романья, «Фестиваль двух миров» в Сполето, La Versiliana в Тоскане, Mittelfest в Чивидале-дель-Фриули), Viva Musica в Братиславе, Картахене, Любляне, Габалинского музыкального фестиваля в Азербайджане, «Балтийских музыкальных сезонов» в Юрмале. На нескольких упомянутых фестивалях с участием Казеллати была представлена программа Джона Малковича «Сообщение о слепых» (глава из романа Эрнесто Сабато «О героях и могилах») на музыку Шнитке.
Альвизе Казеллати – президент и музыкальный руководитель проекта Opera Italiana is in the Air, главная задача которого – приобщение молодежи к итальянскому оперному наследию. В Театре Петруццелли в Бари дирижер участвует в масштабной образовательной программе, разработанной для привлечения в оперу юных зрителей и создания симфонических программ для семейного посещения.
С сезона 2019/20 дирижер выступает в России: он дирижировал Большим симфоническим оркестром имени П. И. Чайковского в зале «Зарядье» на совместном концерте солистов Академии театра Ла Скала и Молодежной оперной программы Большого театра, а также встал за дирижерский пульт в Мариинском театре.
В качестве исполнительного директора Фонда итальянского искусства и культуры в Нью-Йорке Казеллати инициирует проекты в сфере культурного обмена между Италией и США.
