Анастасия Бибичева окончила Академию хорового искусства имени В. С. Попова (1998) и ассистентуру-стажировку АХИ (2000). В 2000 году была принята в труппу Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова. Участвовала в гастролях театра в Тель-Авиве (Израиль) и Висбадене (Германия) в 2015 году.
Лауреат Всероссийского конкурса молодых вокалистов (1998), дипломант Международного конкурса камерного пения Елены Образцовой (2000), лауреат Международного конкурса «Музыка-Классика» (2010).
Гастролировала с концертными программами во Франции, Швейцарии, Германии. Исполнила партию Дорабеллы («Так поступают все женщины» Моцарта) в оперном театре «Авансцена» в Коломбье (L'avant-scène opéra, Швейцария, 2005), партию Ульрики («Бал-маскарад» Верди) на фестивале в Кимгау (Германия, 2007).
В 2012 году участвовала в исполнении Реквиема Верди в Мехико (дирижер – Ян Латам-Кёниг). В 2014 году дебютировала в Самарском театре оперы и балета в партии Амнерис («Аида» Верди).
С 2015 года – приглашенная солистка Большого театра России. Дебютировала в партии Эболи («Дон Карлос» Верди), в дальнейшем исполняла партии Ежибабы («Русалка» Дворжака), Мамки Ксении и Шинкарки («Борис Годунов» Мусоргского).
Также в репертуаре певицы – Любаша, Весна («Царская невеста», «Снегурочка» Римского-Корсакова), Азучена, Маддалена, Фенена («Трубадур», «Риголетто», «Набукко» Верди), Брангена, Ортруда («Тристан и Изольда», «Лоэнгрпин» Вагнера), Ангел («Демон» Рубинштейна), Ларина, Марта («Евгений Онегин», «Иоланта» Чайковского), Лиза («Пассажирка» Вайнберга), Сузуки («Мадам Баттерфляй» Пуччини) и другие партии.