Анастасия Кобекина родилась в Екатеринбурге в семье музыкантов. Обучалась игре на виолончели с четырех лет под руководством Тамары Фейгиной, в шесть лет впервые выступила с оркестром. В 2012 году с отличием окончила Центральную музыкальную школу при Московской консерватории (класс доцента Ольги Галочкиной), затем продолжила обучение в Академии в Кронберге (класс профессора Франса Хельмерсона), Берлинском университете искусств (класс профессора Йенса Петера Майнца) и Парижской консерватории у Жерома Перно. Совершенствуется в Высшей школе музыки и исполнительских искусств во Франкфурте у Кристин фон дер Гольц (барочная виолончель).
Стипендиат Фонда Владимира Спивакова. Лауреат Международного телевизионного конкурса «Щелкунчик» (Москва, 2007, I премия), обладатель Премии ландграфа Гессенского Академии в Кронберге (Германия, 2010) и Премии Олега Янковского (Москва, 2011). Лауреат II Всероссийского музыкального конкурса (2014) и Международного конкурса TONALi в Гамбурге (2015, I премия). В июне 2019 года завоевала III премию и Бронзовую медаль XVI Международного конкурса имени П. И. Чайковского.
Выступала с известными коллективами, в числе которых камерные оркестры «Виртуозы Москвы» и Kremerata Baltica, Большой симфонический оркестр имени П. И. Чайковского, Национальный филармонический оркестр России, Российский национальный оркестр, «Новая Россия», оркестр Мариинского театра, Венский и Варшавский симфонические оркестры, оркестр берлинского Концертхауса, Немецкая камерная филармония Бремена, Симфонический оркестр Би-би-си; сотрудничала с выдающимися дирижерами, такими как Владимир Спиваков, Владимир Федосеев, Валерий Гергиев, Кшиштоф Пендерецкий, Дмитрий Китаенко, Генрих Шифф, Омер Меир Веллбер, Василий Петренко и другие. Играла в камерных ансамблях с известными музыкантами, среди которых Владимир Спиваков, Юрий Башмет, Гидон Кремер, Денис Мацуев, Андраш Шифф, Джованни Соллима и Фазыл Сай.
Концерты артистки проходили на таких престижных сценах, как зал Консертгебау в Амстердаме, Линкольн-центр в Нью-Йорке, берлинский Концертхаус, зал Тонхалле в Цюрихе, Мариинский театр; она принимала участие в Московском Пасхальном фестивале, фестивалях Crescendo, «Звезды на Байкале», «Владимир Спиваков приглашает», «Москва встречает друзей», «Восходящие звезды в Кремле», «Возвращение», в Анси, Кольмаре, Мекленбурге – Передней Померании, «Музыкальные прогулки» в Реймсе, виолончельном фестивале в Кронберге, фестивале камерной музыки Spannungen («Напряжение») на гидроэлектростанции в Хаймбахе, Пасхальном фестивале в Экс-ан-Провансе, «Безумный день» в Нанте.
Среди ярких событий последних сезонов – дебюты с Королевским филармоническим оркестром Ливерпуля, Национальным оркестром Лилля, Симфоническим оркестром Барселоны и Национальным оркестром Каталонии, Пражским симфоническим оркестром, Симфоническим оркестром Ёмиури, Филармоническим оркестром Канагавы, а также сольные дебютные выступления на фестивалях в Вербье, имени Иегуди Менухина в Гштааде и земли Шлезвиг-Гольштейн в Филармонии на Эльбе (Гамбург).
В 2018 году Анастасия стала участницей программы по продвижению молодых артистов New Generation Artist британского радио BBC 3, а также была удостоена на фестивале в Гштааде Премии Тьерри Шерца (директора фестиваля) и Премии Андре Хоффмана, включающей запись диска на швейцарском лейбле Claves (релиз альбома, в который вошли сочинения Шостаковича, Вайнберга и Владимира Кобекина, состоялся в апреле 2019 года).
Играет на виолончели работы Антонио Страдивари De Kermadec Bläss (Кремона, 1698), предоставленной в 2021 году Фондом Страдивари Рольфа Хабисройтингера в Швейцарии.