Анатолий Кузнецов родился в Архангельске. Окончил Архангельское музыкальное училище и Петрозаводскую государственную консерваторию имени А. К. Глазунова. Профессиональную работу концертмейстером начал в Петрозаводском музыкальном театре и на вокальной кафедре консерватории. В дальнейшем работал в театре «Санктъ-Петербургъ Опера», Санкт-Петербургском государственном академическом театре оперы и балета имени М. П. Мусоргского (ныне Михайловский). С 1999 года – концертмейстер Академии молодых певцов Мариинского театра.
В 2006–2015 гг. – постоянный творческий партнер Елены Образцовой.
Удостоен диплома лучшего концертмейстера на международных конкурсах имени Н. А. Римского-Корсакова (2002), имени П. Г. Лисициана (2006), Елены Образцовой в Санкт-Петербурге и Москве (2003, 2005, 2007), имени Станислава Монюшко в Варшаве (2007), имени Бюль-Бюля в Баку (2010), имени Н. А. Обуховой в Липецке (2010, 2014), имени Кончиты Бадиа в Санкт-Петербурге (2014), имени М. Д. Михайлова в Калуге (2014).
Участвовал в мастер-классах Елены Образцовой, Ренаты Скотто, Иляны Котрубаш, Джоан Сазерленд, Ричарда Бонинга, Нила Шикоффа, Владимира Атлантова, Натали Дессей, Джузеппе Сабатини, Маквалы Касрашвили, Марии Гулегиной, Георги Димитрова, Матти Пальма и других выдающихся музыкантов.
Сотрудничал с ведущими российскими и зарубежными певцами, среди которых Анна Аглатова, Динара Алиева, Ильдар и Аскар Абдразаковы, Сергей Алексашкин, Мария Баянкина, Виталий Билый, Ирина Богачёва, Антонина Весенина, Владимир Галузин, Василий Герелло, Юлия Герцева, Вероника Джиоева, Маквала Касрашвили, Дмитрий Корчак, Василий Ладюк, Юлия Маточкина, Ольга Макарьина, Алексей Марков, Евгений Никитин, Татьяна Павловская, Ольга Пудова, Михаил Петренко, Екатерина Семенчук, Ольга Сосновская, Леонид Сметанников, Владислав Сулимский, Алексей Татаринцев, Оксана Шилова, Марина Шутова, Петер Дворски, Деннис О'Нилл, Хуан Понс, Бруно Пратико, Кьяра Таиджи, Нил Шикофф и многие другие.
Постоянный участник международных фестивалей «Звезды белых ночей», «Дворцы Санкт-Петербурга», «Петербургские набережные», «В гостях у Ларисы Гергиевой» (Владикавказ), Московского Пасхального фестиваля.
Работал на постановках с известными дирижерами, в числе которых Валерий Гергиев, Туган Сохиев, Пласидо Доминго, Джузеппе Сабатини, Василий Петренко, Леон Ботстайн, Дмитрий Юровский.
В качестве коуча работал на постановках спектаклей в Мадриде, Люксембурге, Экс-ан-Провансе, Лондоне, Париже (театр Шатле). Гастролировал в 32 странах мира.
В 2012 году удостоен Благодарности Председателя Совета Федерации Федерального Собрания РФ за большой вклад в развитие культуры и искусства РФ, в 2014 году – Благодарности Президента РФ за высокое профессиональное мастерство и концертную деятельность в творческом союзе с Еленой Образцовой. Заслуженный артист Республики Северная Осетия – Алания.
