Андрей Баранов родился в 1986 году в Санкт-Петербурге. Окончил Санкт-Петербургскую государственную консерваторию имени Н. А. Римского-Корсакова и Консерваторию Лозанны. В числе его наставников – Лев Иващенко, Владимир Овчарек, Павел Попов, Пьер Амойяль. Участвовал в мастер-классах Бориса Кушнира, Лианы Исакадзе, Ким Кашкашьян и др.
В 2009 году был назначен ассистентом профессора Пьера Амойяля в Консерватории Лозанны и начал давать мастер-классы по всему миру. В настоящее время – профессор Университета искусств Фолькванг (Германия) и Академии Ридотто (Италии), приглашенный профессор Международной музыкальной школы-интерната Piccoli Virtuosi (Швейцария) и «Мастерской скрипичного искусства» в Москве.
Победитель международных конкурсов имени Королевы Елизаветы в Брюсселе (наряду с премией получил от музыкального фонда Nippon в пользование скрипку Huggins работы Антонио Страдивари, 1708), имени Бенджамина Бриттена в Лондоне и имени Генри Марто в Германии. Лауреат более двадцати состязаний, в том числе в Индианополисе (США), Сендае (Япония), Сеуле (Южная Корея), UNISA (ЮАР), Лианы Исакадзе, имени Давида Ойстраха, имени Никколо Паганини в Москве.
В 2012 году стал одним из основателей и первой скрипкой Квартета имени Давида Ойстраха.
Выступал на самых престижных сценах мира, в числе которых Консертгебау в Амстердаме, Моцартеум в Зальцбурге, Национальный Большой театр в Пекине, Кадоган-холл в Лондоне, Дворец изящных искусств в Брюсселе, Гевандхаус в Лейпциге, Концертхаусы в Вене и Берлине, Тонхалле в Цюрихе, Большой зал Санкт-Петербургской филармонии, Концертный зал имени П. И. Чайковского в Москве. Выступления музыканта транслировали крупнейшие радиостанции России, Германии, Финляндии, Швейцарии, США и Японии.
Выступал со многими ведущими коллективами мира, такими как Венский симфонический оркестр, Королевский филармонический оркестр (Лондон), Люксембургский филармонический, оркестры Санкт-Петербургской филармонии и Мариинского театра, musicAeterna, Camerata Salzburg, Брюссельский филармонический оркестр, Малеровский камерный оркестр, Национальный оркестр Бельгии; с известными дирижерами, среди которых Юрий Темирканов, Василий Петренко, Владимир Федосеев, Теодор Курентзис, Николай Алексеев, Эдуард Серов, Иоганнес Вильднер, Вальтер Веллер, Эммануэль Кривин, Кент Нагано, Томас Зандерлинг, Михаэль Зандердинг, Александр Ведерников, Казухито Ямашита и другие.
Играл в ансамбле с Мартой Аргерих, Лианой Исакадзе, Пьером Амойялем, Юлианом Рахлиным, Борисом Андриановым, Элисо Вирсаладзе, Андреем Гугниным, Кириллом Герштейном, Антонио Менезесом.
В 2018 году получил премию Diapason d’Or за альбом The Golden Violin (MUSO).
