Андрей Забавников родился в 1999 году в Москве. Учился в Центральной музыкальной школе и Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского (класс профессора Ары Богданяна). Принимал участие в мастер-классах в рамках международных фестивалей имени Пабло Казальса в Праде (Франция), Schlossfestspiele в Хоэнприснице (Германия), Summit в Плезантвиле (США), Международной академии «Мастера Понлёвуа» (Франция) и Летней академии Санкт-Петербургского Дома музыки в Ялте.
Победитель Международного конкурса молодых музыкантов в номинации «струнные инструменты» в Москве (2009), международных конкурсов «Ночь в Мадриде» (Испания, 2011, 2012), молодых скрипачей имени Мирослава Лавриновича в Плоцке (Польша, 2013), имени Савелия Орлова в Самаре (2014, Гран-при «Премия имени Шостаковича»), конкурса скрипачей в Ереване (2014) и Schlossfestspiele в Хоэнприснице (Германия, 2018). Стипендиат фонда Владимира Спивакова.
Принимал участие в проектах Санкт-Петербургского Дома музыки. Гастролировал во многих городах России, в Австрии, Франции, Германии, Испании, Польше, Сербии, Литве, Беларуси, Армении, Израиле, США, Китае и Японии, выступал на Транссибирском Арт-фестивале, фестивалях имени Моцарта в Хемнице и «Дни Чайковского» в Гамбурге.
Сотрудничал с Камерным оркестром и Ансамблем скрипачей Большого театра, оркестрами Детского музыкального театра имени Н. И. Сац, Ярославской и Самарской филармоний, Государственным камерным оркестром Республики Беларусь. Выступал в ансамблях с Вадимом Репиным, Евгением Бушковым, Михаилом Цинманом, Алексеем Богорадом, Ильей Мовчаном.
С 2021 года – артист Государственного академического камерного оркестра России (художественный руководитель – Алексей Уткин).