Анна Богачёва окончила Российскую академию музыки имени Гнесиных (2009, класс Дмитрия Потёмкина) и аспирантуру Московской государственной консерватории (2012, руководитель – Виталий Астахов). Лауреат международных конкурсов.
С 2008 года – артистка Российского государственного симфонического оркестра кинематографии под управлением Сергея Скрипки (с 2016 года – заместитель концертмейстера группы альтов). По итогам интернет-конкурса YouTube Symphony Orchestra была отобрана в состав Международного симфонического оркестра и выступила в нью-йоркском Карнеги-холле (2009).
Выступает в составе камерных ансамблей, как солистка играла с Камерным оркестром РАМ имени Гнесиных под управлением Тимура Мынбаева, с симфоническим оркестром Брестского академического театра драмы, с Жуковским симфоническим оркестром под управлением Сергея Скрипки.