Анна Горячёва родилась в Ленинграде (Санкт-Петербург). В 2008 году окончила с отличием вокальный факультет Санкт-Петербургской государственной консерватории имени Н. А. Римского-Корсакова (класс доцента Галины Киселевой). В том же году была принята в труппу театра «Санктъ-Петербургъ Опера», на сцене которого исполняла партии Полины, Ольги («Пиковая дама» и «Евгений Онегин» Чайковского), Марины Мнишек («Борис Годунов» Мусоргского), Донны Эльвиры («Дон Жуан» Моцарта, номинация на премию «Золотая Маска» в 2010 году).
В 2009–2011 годах стажировалась в римской Национальной академии Санта-Чечилия у Ренаты Скотто, в академии A.R.T. Musica у Ромуальдо Савастано. В 2011 году дебютировала во Фламандской опере (Антверпен) в партии Маркизы Мелибеи («Путешествие в Реймс» Россини, дирижер Альберто Дзедда).
В 2012–2017 годах была солисткой Цюрихской оперы. Выступала в спектаклях «Саломея» Р. Штрауса (Паж Иродиады), «Шелковая лестница» Россини (Лючилла), «Три сестры» Этвеша (Маша), «Ринальдо» Генделя (Эустазио), «Нюрнбергские майстерзингеры» Вагнера (Магдалина), «Севильский цирюльник» Россини (Розина), «Истина в испытании» Вивальди (Селим), «Роланд-паладин» Гайдна (Альцина), «Дон Жуан» (Церлина), «Пиковая дама» (Полина) и «Путешествие в Реймс» (Маркиза Мелибея). Участвовала в мировой премьере оперы Кристиана Йоста «Красный фонарь» (дирижер Ален Альтиноглу).
Среди наиболее значимых выступлений последних лет: заглавная партия в опере «Кармен» Бизе в Королевском оперном театре Ковент-Гарден в Лондоне, на фестивале Арена ди Верона, в Королевском театре в Мадриде и Фламандской опере в Антверпене; Дорабелла («Так поступают все женщины» Моцарта) в Цюрихской опере (постановка Кирилла Серебренникова), театрах Флоренции и Болоньи; Розина («Севильский цирюльник») на фестивале барочной оперы в Боне (Франция) и в Михайловском театре в Санкт-Петербурге; Секст («Милосердие Тита» Моцарта) в Генте и Антверпене; заглавная партия в «Золушке» Россини в Норвежской национальной опере в Осло; Маркиза Мелибея («Путешествие в Реймс») в Королевском театре Дании (постановка Дамиано Микьелетто), Нидерландской опере в Амстердаме и Фламандской опере; Адальджиза («Норма» Беллини) в Триесте и Неаполе; Полина («Пиковая дама») в Амстердаме; Альцина («Роланд-паладин») в Театре Шатле в Париже. На Россиниевском оперном фестивале в Пезаро исполнила партии Изабеллы («Итальянка в Алжире») и Эдоардо («Матильда ди Шабран»). В Парижской национальной опере дебютировала в партии Руджеро («Альцина» Генделя).
Сотрудничала с такими известными дирижерами, как Даниэль Баренбойм, Антонио Паппано, Фабио Луизи, Себастьян Вайгль, Иржи Белоглавек, Энрике Маццола, Оттавио Дантоне, Даниэле Рустиони, Ален Альтиноглу, Микеле Мариотти, Альберто Дзедда, Стефано Молинари, Нелло Санти, Кристоф Руссе, Марис Янсонс, Дмитрий Юровский, Жан-Кристоф Спинози.
В концертных программах участвовала в исполнении «Свадебки» Стравинского (Рим, дирижер Андрес Ороско-Эстрада) и Stabat Mater Россини (Пезаро), выступала на Дягилевском фестивале в Перми с Теодором Курентзисом (партия альта в Симфонии № 3 Малера).
В 2019 году выступила в операх «Пиковая дама» на сцене лондонского театра Ковент-Гарден (режиссер Штефан Херхайм, дирижер Антонио Паппано), «Обручение в монастыре» Прокофьева в Берлинской государственной опере (дирижер Даниэль Баренбойм, режиссер Дмитрий Черняков), а также дебютировала в Большом театре России в партии Маркизы Малибеи («Путешествие в Реймс») и исполнила заглавную партию на премьере оперы «Дидона и Эней» Пёрселла (дирижер Кристофер Мулдс, режиссер Венсан Уге).
