Анна Кикнадзе родилась в Тбилиси. Там же окончила консерваторию и начала певческую карьеру в театре оперы и балета имени З. Палиашвили. На Тбилисской сцене Анна пела партию Любаши в «Царской невесте» и заглавную партию в опере «Кармен». В дальнейшем эта роль стала одной из наиболее удачных работ певицы, о чем писала пресса: «Кармен Анны Кикнадзе предстала земной, влюбленной в жизнь, не ведающей о скорой гибели. Свидетельством тому был опьяняюще-чарующий тембр её насыщенного, обладающего уникальными свойствами меццо-сопрано. Анна Кикнадзе абсолютно органична в этой роли» (издание «СПб Ведомости»).
После окончания консерватории Анна одержала ряд убедительных побед на вокальных конкурсах, став дипломантом I Республиканского конкурса молодых исполнителей в Тбилиси и IV Международного конкурса молодых оперных певцов имени Н. А. Римского-Корсакова в Санкт-Петербурге, а вскоре и лауреатом международного конкурса вокалистов имени С. Монюшко в Варшаве и конкурса молодых оперных певцов Operalia в Париже. В 2001 году она представляла Грузию на Международном конкурсе Би-би-си «Певец мира» и вошла в число финалистов.
С 2000 года Анна Кикнадзе – солистка Академии молодых певцов Мариинского театра, с 2009 года – солистка оперной труппы Мариинского театра.
В репертуаре певицы несколько десяткой партий, включая Ольгу в «Евгении Онегине», Амнерис в «Аиде», Кармен в одноименной опере, Керубино в «Свадьбе Фигаро», Далилу в «Самсоне и Далиле», Полину и Графиню в «Пиковой даме» и многие другие. Вагнеровский репертуар представлен партиями Фрики и Эрды («Золото Рейна»), Гримгерды («Валькирия»), Флосхильды («Гибель богов»),т Волшебной девы Клингзора («Парсифаль»).
С труппой Мариинского театра Анна гастролировала в США, Англии, Австрии, Финляндии, Германии, Японии, Корее, Дании, Франции и Бразилии, а также выступала как приглашенная солистка в разных театрах Швеции, Австрии, Германии и Голландии.
Анна Кикнадзе удостоена звания Народная артистка республики Северная Осетия-Алания.
