Анна Нечаева родилась в Саратове. В 1996 году окончила Полтавское музыкальное училище имени Н. В. Лысенко (класс Л. Г. Лукьяновой). Продолжила обучение в Саратовской государственной консерватории (класс вокала М. С. Ярешко). Cо второго курса совмещала учебу с работой в филармонии. Исполнила партию Татьяны в опере «Евгений Онегин» П. Чайковского в Санкт-Петербургской консерватории.
С 2003 года Анна была солисткой театра «Санкт-Петербург Опера», где в ее репертуар вошли ведущие партии в операх «Евгений Онегин» П. Чайковского, «Мадам Баттерфляй», «Джанни Скикки» и «Сестра Анжелика» Дж. Пуччини, «Травиата» Дж. Верди, «Поругание Лукреции» Б. Бриттена.
В 2008–2011 годах Анна была солистка Михайловского театра, на сцене которого исполняла партии Недды в «Паяцах» Р. Леонкавалло, Татьяны в «Евгении Онегине», Русалки в одноименной опере А. Дворжака и Рахиль в «Иудейке» Ж. Галеви. В 2014 году исполнила в этом театре партию Манон («Манон Леско» Дж. Пуччини).
С 2012 года – солистка Большого театра, на сцене которого дебютировала в партии Настасьи в опере «Чародейка» П. Чайковского. Исполняет партии: Иоланта («Иоланта» П. Чайковского), Ярославна («Князь Игорь» А. Бородина), Донна Анна («Каменный гость» А. Даргомыжского), Виолетта и Елизавета («Травиата» и «Дон Карлос» Дж. Верди), Лю («Турандот» Дж. Пуччини), Микаэла («Кармен» Ж. Бизе) и другие.
В Московском академическом музыкальном театре имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко певица принимала участие в постановках опер «Пиковая дама» П. Чайковского (партия Лизы), «Тангейзер» Р. Вагнера (Елизавета) и «Аида» Дж. Верди (заглавная партия). Сотрудничала также с Латвийской национальной оперой (партия Леоноры в опере «Трубадур» Дж. Верди) и театром Ла Монне в Брюсселе (партия Франчески да Римини в одноименной опере и Земфиры в опере «Алеко» С. Рахманинова).