Анна Савкина родилась в 1994 году в Братске (Иркутская область). Окончила Московскую среднюю специальную музыкальную школу имени Гнесиных (класс профессора Александра Винницкого), Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского и ассистентуру-стажировку МГК (класс профессора Владимира Иванова). Принимала участие в мастер-классах Бориса Кушнира, Пьера Амойяля, Вольфганга Редика, Дэвида Чана, Пинхаса Цукермана, Дмитрия Ситковецкого, Михаэлы Мартин, Огюстена Дюмэ, Гая Браунштейна, Гийома Сютра.
Лауреат международных конкурсов скрипачей имени Андреа Постаккини в Фермо (Италия, III премия), имени Хейно Эллера в Таллине (III премия), в Астане (Гран-при), имени А. И. Ямпольского в Москве (III премия), международных конкурсов в Сендае (Япония, IV премия и приз зрительских симпатий), «Весна в Бухенау» (Германия, I премия), имени С. И. Савшинского в Санкт-Петербурге (II премия) и Всероссийского конкурса молодых исполнителей, посвященного 75-летию Казанской консерватории (Iпремия). Удостоена премии банка HSBC (2012) и именной премии «Газпрома» (2016, 2017).
Выступает с сольными концертами в России и за рубежом. Сотрудничала с оркестрами под управлением известных дирижеров, среди которых Владимир Федосеев, Владимир Спиваков, Юрий Башмет, Александр Рудин, Анатолий Левин, Александр Титов, Александр Канторов, Саулюс Сондецкис, Василий Валитов, Алим Шахмаметьев, Владимир Сиренко, Пааво Ярви, Юничи Хироками, Думитру Гойя, Витторио Паризи, Мартин Хофф, Масахиро Изаки, Эммануэль Ледюк-Баром.
Принимала участие в фестивалях Crescendo и «Звезды на Байкале» Дениса Мацуева, в Вербье (Швейцария), Кольмаре (Франция), «Москва встречает друзей» фонда Владимира Спивакова, Зимнем фестивале искусств Юрия Башмета в Сочи, «Декабрьские вечера Святослава Рихтера», «Ночные серенады» Лианы Исакадзе в Грузии и других.
С 2019 года участвует в программах Санкт-Петербургского Дома музыки. Играет на скрипке Томмазо Балестриери (1752), предоставленной Домом музыки.
